Um campo de escoamento é definido por
, onde x e y são em metros. Determine a equação da linha de corrente que passa através do ponto ( 2 m ,
a velocidade nesse ponto.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um campo de escoamento definido pela velocidade vetorial
. A gente precisa descobrir duas coisas:
- A equação da linha de corrente que passa pelo ponto (2 m, 4 m).
- A velocidade nesse ponto.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de Vetores em Campos de Escoamento e Equações diferenciais para encontrar a linha de corrente. Vamos dividir isso em passos bem explicados!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma linha de corrente. Em um campo de escoamento, uma linha de corrente é uma trajetória seguida por uma partícula que se move com o fluido. Matematicamente, isso significa que a direção da velocidade do fluido é sempre tangente à linha de corrente naquele ponto.
Para achar a equação da linha de corrente, usamos a relação:
Onde
e
são as componentes da velocidade nas direções x e y, respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos identificar
e
a partir da velocidade vetorial dada:
Então:
Passo 4
Substituindo
e
na relação da linha de corrente:
Agora temos uma equação diferencial que precisamos resolver para encontrar a equação da linha de corrente.
Passo 5
Vamos separar variáveis para resolver a equação diferencial:
Agora, integramos ambos os lados:
Passo 6
Calculando as integrais:
Para o lado esquerdo:
Para o lado direito:
Igualando as duas integrais:
Podemos simplificar, combinando as constantes
e
em uma única constante
:
Passo 7
Agora, usamos o ponto dado (2 m, 4 m) para encontrar a constante
.
Substituindo
e
na equação:
Calculando cada termo:
Convertendo 24 para ter o mesmo denominador:
Então:
Passo 8
Agora, substituímos
de volta na equação da linha de corrente:
Multiplicando tudo por 3 para simplificar:
Essa é a equação da linha de corrente que passa pelo ponto (2 m, 4 m).
Passo 9
Agora, vamos calcular a velocidade no ponto (2 m, 4 m).
Sabemos que:
A velocidade total pode ser encontrada usando a fórmula do módulo do vetor velocidade:
Resposta
A equação da linha de corrente que passa pelo ponto (2 m, 4 m) é:
E a velocidade no ponto (2 m, 4 m) é aproximadamente
.