Um campo de escoamento é definido por V=[(y^2-6) imath+(2 x+3) jmath] m / s, onde x e y são em metros. Determine a equação da linha de corrente que passa através do ponto ( 2 m , 4 m) e a velocidade nesse ponto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um campo de escoamento definido pela velocidade vetorial V = [(y^2-6)imath + (2x + 3)jmath] , m/s. A gente precisa descobrir duas coisas:
  1. A equação da linha de corrente que passa pelo ponto (2 m, 4 m).
  2. A velocidade nesse ponto.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de Vetores em Campos de Escoamento e Equações diferenciais para encontrar a linha de corrente. Vamos dividir isso em passos bem explicados!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma linha de corrente. Em um campo de escoamento, uma linha de corrente é uma trajetória seguida por uma partícula que se move com o fluido. Matematicamente, isso significa que a direção da velocidade do fluido é sempre tangente à linha de corrente naquele ponto.
Para achar a equação da linha de corrente, usamos a relação:
dydx = VyVx
Onde Vx e Vy são as componentes da velocidade nas direções x e y, respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos identificar Vx e Vy a partir da velocidade vetorial dada:
V = [(y^2-6)imath + (2x + 3)jmath] , m/s
Então:
Vx = y^2 - 6
Vy = 2x + 3

Passo 4

Substituindo Vx e Vy na relação da linha de corrente:
dydx = 2x + 3y^2 - 6
Agora temos uma equação diferencial que precisamos resolver para encontrar a equação da linha de corrente.

Passo 5

Vamos separar variáveis para resolver a equação diferencial:
(y^2 - 6) dy = (2x + 3) dx
Agora, integramos ambos os lados:
integral (y^2 - 6) dy = integral (2x + 3) dx

Passo 6

Calculando as integrais:
Para o lado esquerdo:
integral (y^2 - 6) dy = y^33 - 6y + C1
Para o lado direito:
integral (2x + 3) dx = x^2 + 3x + C2
Igualando as duas integrais:
y^33 - 6y + C1 = x^2 + 3x + C2
Podemos simplificar, combinando as constantes C1 e C2 em uma única constante C:
y^33 - 6y = x^2 + 3x + C

Passo 7

Agora, usamos o ponto dado (2 m, 4 m) para encontrar a constante C.
Substituindo x = 2 e y = 4 na equação:
4^33 - 6 times 4 = 2^2 + 3 times 2 + C
Calculando cada termo:
643 - 24 = 4 + 6 + C
643 - 24 = 10 + C
Convertendo 24 para ter o mesmo denominador:
643 - 723 = 10 + C
-83 = 10 + C
Então:
C = -83 - 10 = -83 - 303 = -383

Passo 8

Agora, substituímos C de volta na equação da linha de corrente:
y^33 - 6y = x^2 + 3x - 383
Multiplicando tudo por 3 para simplificar:
y^3 - 18y = 3x^2 + 9x - 38
Essa é a equação da linha de corrente que passa pelo ponto (2 m, 4 m).

Passo 9

Agora, vamos calcular a velocidade no ponto (2 m, 4 m).
Sabemos que:
Vx = y^2 - 6 = 4^2 - 6 = 16 - 6 = 10 , m/s
Vy = 2x + 3 = 2 times 2 + 3 = 4 + 3 = 7 , m/s
A velocidade total pode ser encontrada usando a fórmula do módulo do vetor velocidade:
|V| = raizVx^2 + Vy^2 = raiz10^2 + 7^2 = raiz100 + 49 = raiz149 approx 12,21 , m/s

Resposta

A equação da linha de corrente que passa pelo ponto (2 m, 4 m) é:
y^3 - 18y = 3x^2 + 9x - 38
E a velocidade no ponto (2 m, 4 m) é aproximadamente 12,21 , m/s.

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