(a) Partindo da lei de Gauss para os campos elétricos, obtenha a expressão de Maxwell na forma integral baseada nesta lei.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente, partindo da Lei de Gauss para campos elétricos, chegar na forma integral das Equações de Maxwell. Basicamente, vamos explorar como a Lei de Gauss, que relaciona o campo elétrico com a carga elétrica, pode ser expressa de forma integral. Para isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo vetorial, especialmente o teorema da divergência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lei de Gauss na sua forma diferencial, que faz parte das Equações de Maxwell:
Aqui,
representa a divergência do campo elétrico
,
é a densidade de carga elétrica, e
é a constante de permissividade do vácuo.
Passo 3
Agora, para transformar essa equação diferencial em uma forma integral, usamos o teorema da divergência. Esse teorema nos permite relacionar a divergência de um campo vetorial dentro de um volume fechado com o fluxo desse campo através da superfície que delimita o volume. A fórmula geral do teorema da divergência é:
Aqui,
é a integral sobre o volume
, e
é a integral de superfície sobre a fronteira
desse volume.
Passo 4
Aplicando o teorema da divergência à Lei de Gauss, temos:
Ou seja, a integral da densidade de carga dividida por
sobre o volume
é igual ao fluxo do campo elétrico
através da superfície que envolve
.
Passo 5
Recognizing that
is the carga total
encerrada pelo volume
, podemos simplificar a expressão para:
Essa é a forma integral da Lei de Gauss, uma das Equações de Maxwell, que relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície fechada com a carga elétrica total dentro dessa superfície.
Resposta
A forma integral da Lei de Gauss nas Equações de Maxwell é:
Exercícios relacionados
Em uma região onde
e
, os potenciais eletromagnéticos são dados por
e
. (a) Encontre
como função de
.
Os hidrocarbonetos acetileno
e benzeno
têm a mesma fórmula mínima. O benzeno é um hidrocarboneto aromático, que é supreendentemente estável por causa de sua estrutura. a) Usando os dados do apêndice C, determine a variação da entalpia padrão da reação
Qual tem maior entalpia, 3 mols de gás acetileno ou 1 mol de benzeno líquido?
(a) Partindo da lei de Faraday, obtenha a equação de Maxwell na forma integral baseada nesta.
© Quais condições os campos calculados no item anterior satisfazem as equações de Maxwell?