(a) Partindo da lei de Gauss para os campos elétricos, obtenha a expressão de Maxwell na forma integral baseada nesta lei.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente, partindo da Lei de Gauss para campos elétricos, chegar na forma integral das Equações de Maxwell. Basicamente, vamos explorar como a Lei de Gauss, que relaciona o campo elétrico com a carga elétrica, pode ser expressa de forma integral. Para isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo vetorial, especialmente o teorema da divergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Gauss na sua forma diferencial, que faz parte das Equações de Maxwell:
Aqui, representa a divergência do campo elétrico , é a densidade de carga elétrica, e é a constante de permissividade do vácuo.

Passo 3

Agora, para transformar essa equação diferencial em uma forma integral, usamos o teorema da divergência. Esse teorema nos permite relacionar a divergência de um campo vetorial dentro de um volume fechado com o fluxo desse campo através da superfície que delimita o volume. A fórmula geral do teorema da divergência é:
Aqui, é a integral sobre o volume , e é a integral de superfície sobre a fronteira desse volume.

Passo 4

Aplicando o teorema da divergência à Lei de Gauss, temos:
Ou seja, a integral da densidade de carga dividida por sobre o volume é igual ao fluxo do campo elétrico através da superfície que envolve .

Passo 5

Recognizing that is the carga total encerrada pelo volume , podemos simplificar a expressão para:
Essa é a forma integral da Lei de Gauss, uma das Equações de Maxwell, que relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície fechada com a carga elétrica total dentro dessa superfície.

Resposta

A forma integral da Lei de Gauss nas Equações de Maxwell é:

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