Em uma região onde mur=varepsilonr=1 e sigma=0, os potenciais eletromagnéticos são dados por V=x(z-c t) V e A=x(z / c-t) az Wb / m, c=1 /[(mu0 varepsilon0)^1 / 2]. (a) Encontre nabla cdot A como função de V.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos fala sobre potenciais eletromagnéticos em uma região específica onde a permeabilidade relativa ( mur) e a permissividade relativa ( varepsilonr) são iguais a 1, e a condutividade ( sigma) é zero. O que precisamos fazer aqui é encontrar o divergente do vetor potencial magnético A em função do potencial elétrico V. Para isso, vamos usar conceitos básicos de eletromagnetismo, como operadores vetoriais e a relação entre os potenciais eletromagnéticos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que o divergente de um vetor A, denotado por nabla cdot A, é uma operação que nos dá uma medida de quanto o vetor “espalha” ou “converge” em um ponto. No nosso caso, A é dado por:
A = x(z / c - t) az
Aqui, az é o vetor unitário na direção z.

Passo 3

Agora, vamos calcular o divergente de A. Em coordenadas cartesianas, o divergente de um vetor A = Ax ax + Ay ay + Az az é dado por:
nabla cdot A = partial Axpartial x + partial Aypartial y + partial Azpartial z
No nosso caso, A tem apenas a componente na direção z, ou seja, Ax = 0, Ay = 0 e Az = x(z / c - t).

Passo 4

Vamos calcular cada derivada parcial:
partial Axpartial x = 0
partial Aypartial y = 0
partial Azpartial z = partialpartial z [x(z / c - t)] = xc

Passo 5

Somando as derivadas parciais:
nabla cdot A = 0 + 0 + xc = xc

Passo 6

Agora, vamos relacionar isso com o potencial elétrico V. O enunciado nos dá:
V = x(z - ct)
Vamos rearranjar essa expressão para expressar z - ct em termos de V:
z - ct = Vx

Passo 7

Sabendo que c = 1raizmu0 varepsilon0, podemos substituir na expressão do divergente:
nabla cdot A = xc = x raizmu0 varepsilon0
Mas, a partir da expressão de V, já vimos que z - ct = Vx, então podemos relacionar isso de volta:
nabla cdot A = xc = raizmu0 varepsilon0 , x

Resposta

O divergente do vetor potencial magnético A em fun��ão do potencial elétrico V é:
nabla cdot A = xc

Exercícios relacionados