Em uma região onde
e
, os potenciais eletromagnéticos são dados por
e
. (a) Encontre
como função de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos fala sobre potenciais eletromagnéticos em uma região específica onde a permeabilidade relativa (
) e a permissividade relativa (
) são iguais a 1, e a condutividade (
) é zero. O que precisamos fazer aqui é encontrar o divergente do vetor potencial magnético
em função do potencial elétrico
. Para isso, vamos usar conceitos básicos de eletromagnetismo, como operadores vetoriais e a relação entre os potenciais eletromagnéticos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que o divergente de um vetor
, denotado por
, é uma operação que nos dá uma medida de quanto o vetor “espalha” ou “converge” em um ponto. No nosso caso,
é dado por:
Aqui,
é o vetor unitário na direção z.
Passo 3
Agora, vamos calcular o divergente de
. Em coordenadas cartesianas, o divergente de um vetor
é dado por:
No nosso caso,
tem apenas a componente na direção z, ou seja,
,
e
.
Passo 4
Vamos calcular cada derivada parcial:
Passo 5
Somando as derivadas parciais:
Passo 6
Agora, vamos relacionar isso com o potencial elétrico
. O enunciado nos dá:
Vamos rearranjar essa expressão para expressar
em termos de
:
Passo 7
Sabendo que
, podemos substituir na expressão do divergente:
Mas, a partir da expressão de
, já vimos que
, então podemos relacionar isso de volta:
Resposta
O divergente do vetor potencial magnético
em fun��ão do potencial elétrico
é: