Partindo do repouso, uma roda é acelerada de tal modo que sua velocidade angular, crescendo uniformemente, atinge 200 rpm em 6 s . Após girar por algum tempo com essa velocidade, os freios são pressionados e ela para após 5 s . Se o número de revoluções total da roda é de 3.100, calcular o tempo total de rotação.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma roda que começa parada e é acelerada até atingir uma velocidade angular de 200 rotações por minuto (rpm) em 6 segundos. Depois, ela continua girando nessa velocidade por um certo tempo antes de os freios serem acionados, fazendo com que a roda pare em 5 segundos. Sabemos que, no total, a roda fez 3.100 rotações. Nosso objetivo é descobrir quanto tempo a roda ficou girando no total.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cinemática rotacional, como velocidade angular, aceleração angular e o número de rotações. Também vamos precisar converter unidades de rpm para radianos por segundo (rad/s) e usar fórmulas que relacionam tempo, velocidade e aceleração angular.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a velocidade angular de 200 rpm para radianos por segundo. Sabemos que:
1, rpm = 2pi60, rad/s
Então,
200, rpm = 200 times 2pi60 = 400pi60 = 20pi3, rad/s

Passo 3

Agora, vamos calcular a aceleração angular ( alpha) durante os 6 segundos em que a roda está acelerando de 0 até 20pi3, rad/s. A fórmula para aceleração angular é:
alpha = De
Onde De e De. Portanto,
alpha = 20pi36 = 20pi18 = 10pi9, rad/s^2

Passo 4

Durante o período de aceleração, a roda percorre um certo número de rotações ( N1). Usamos a fórmula para rotação com aceleração constante:
N1 = 12 alpha t^2
Substituindo os valores:
N1 = 12 times 10pi9 times (6)^2 = 12 times 10pi9 times 36 = 12 times 360pi9 = 12 times 40pi = 20pi, radianos
Como 1 rotação completa é 2pi radianos, o número de rotações durante a aceleração é:
20pi2pi = 10, rps
Mas parece haver um erro nessa etapa. Vamos recalculá-la corretamente:
Usamos a fórmula para o deslocamento angular ( theta):
theta1 = 12 alpha t^2 = 12 times 10pi9 times 36 = 12 times 40pi = 20pi, rad
Convertendo para rotações:
N1 = 20pi2pi = 10, rotações çõ

Passo 5

Após a aceleração, a roda gira a velocidade constante de 20pi3, rad/s pelo tempo tc (que queremos encontrar). O número de rotações durante esse período ( N2) é:
theta2 = omega times tc = 20pi3 times tc
Convertendo para rotações:
N2 = 20pi3 times tc2pi = 103 tc, rotações çõ

Passo 6

Depois, os freios são acionados e a roda desacelera até parar em 5 segundos. A desaceleração angular ( alphad) é dada por:
alphad = De
O deslocamento angular durante a desaceleração ( theta3) é:
theta3 = omega t + 12 alphad t^2 = 20pi3 times 5 + 12 times (-4pi3) times 25
Calculando:
theta3 = 100pi3 - 50pi3 = 50pi3, rad
Convertendo para rotações:
N3 = 50pi32pi = 253, rotações approx 8,33, rotações çõçõ

Passo 7

Sabemos que o número total de rotações ( Ntotal) é a soma das rotações durante a aceleração, o giro constante e a desaceleração:
Ntotal = N1 + N2 + N3 = 10 + 103 tc + 253 = 3.100
Vamos montar a equação:
10 + 103 tc + 253 = 3.100
Somando os termos constantes:
10 + 253 = 303 + 253 = 553
Então,
103 tc + 553 = 3.100
Multiplicando todos os termos por 3 para eliminar o denominador:
10 tc + 55 = 9.300
Subtraindo 55 de ambos os lados:
10 tc = 9.245
Dividindo por 10:
tc = 924,5, segundos

Passo 8

Agora, vamos somar todos os tempos:
  • Tempo de aceleração: 6 s
  • Tempo de giro constante: 924,5 s
  • Tempo de desaceleração: 5 s
Tempo total = 6 + 924,5 + 5 = 935,5, segundos
Convertendo para minutos:
935,5, s div 60 approx 15,59, minutos

Resposta

O tempo total de rotação da roda é aproximadamente 15,59 minutos.

Exercícios relacionados