Partindo do repouso, uma roda é acelerada de tal modo que sua velocidade angular, crescendo uniformemente, atinge 200 rpm em 6 s . Após girar por algum tempo com essa velocidade, os freios são pressionados e ela para após 5 s . Se o número de revoluções total da roda é de 3.100, calcular o tempo total de rotação.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma roda que começa parada e é acelerada até atingir uma velocidade angular de 200 rotações por minuto (rpm) em 6 segundos. Depois, ela continua girando nessa velocidade por um certo tempo antes de os freios serem acionados, fazendo com que a roda pare em 5 segundos. Sabemos que, no total, a roda fez 3.100 rotações. Nosso objetivo é descobrir quanto tempo a roda ficou girando no total.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cinemática rotacional, como velocidade angular, aceleração angular e o número de rotações. Também vamos precisar converter unidades de rpm para radianos por segundo (rad/s) e usar fórmulas que relacionam tempo, velocidade e aceleração angular.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a velocidade angular de 200 rpm para radianos por segundo. Sabemos que:
Então,
Passo 3
Agora, vamos calcular a aceleração angular (
) durante os 6 segundos em que a roda está acelerando de 0 até
. A fórmula para aceleração angular é:
Onde
e
. Portanto,
Passo 4
Durante o período de aceleração, a roda percorre um certo número de rotações (
). Usamos a fórmula para rotação com aceleração constante:
Substituindo os valores:
Como 1 rotação completa é
radianos, o número de rotações durante a aceleração é:
Mas parece haver um erro nessa etapa. Vamos recalculá-la corretamente:
Usamos a fórmula para o deslocamento angular (
):
Convertendo para rotações:
Passo 5
Após a aceleração, a roda gira a velocidade constante de
pelo tempo
(que queremos encontrar). O número de rotações durante esse período (
) é:
Convertendo para rotações:
Passo 6
Depois, os freios são acionados e a roda desacelera até parar em 5 segundos. A desaceleração angular (
) é dada por:
O deslocamento angular durante a desaceleração (
) é:
Calculando:
Convertendo para rotações:
Passo 7
Sabemos que o número total de rotações (
) é a soma das rotações durante a aceleração, o giro constante e a desaceleração:
Vamos montar a equação:
Somando os termos constantes:
Então,
Multiplicando todos os termos por 3 para eliminar o denominador:
Subtraindo 55 de ambos os lados:
Dividindo por 10:
Passo 8
Agora, vamos somar todos os tempos:
- Tempo de aceleração: 6 s
- Tempo de giro constante: 924,5 s
- Tempo de desaceleração: 5 s
Convertendo para minutos:
Resposta
O tempo total de rotação da roda é aproximadamente 15,59 minutos.