A velocidade angular de um corpo em t = 0 é e sua aceleração angular é constante e igual a . Uma linha no corpo está na posição horizontal em t-0.
a. Qual o ângulo de O P com a horizontal em t=3 s ?
b. Qual a velocidade angular nesse instante?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma situação de movimento rotacional aqui. No tempo inicial, t = 0, a velocidade angular é 4 rad/s e a aceleração angular constante é 2 rad/s^2. Além disso, uma linha no corpo, chamada O P, está na posição horizontal nesse instante. Precisamos descobrir duas coisas:
a. Qual é o ângulo da linha O P com a horizontal quando t = 3 s?
b. Qual é a velocidade angular nesse mesmo instante de t = 3 s?
Para resolver isso, vamos usar as equações do movimento rotacional com aceleração angular constante.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a parte a do exercício: encontrar o ângulo da linha O P com a horizontal após 3 segundos.
A gente vai usar a fórmula que relaciona o ângulo theta com o tempo quando há aceleração angular constante:
theta(t) = theta0 + omega0 t + 12 alpha t^2
Onde:
theta(t) é o ângulo no tempo t.
theta0 é o ângulo inicial.
omega0 é a velocidade angular inicial.
alpha é a aceleração angular.
t é o tempo.
Como a linha O P está na horizontal no início, theta0 = 0.
Passo 3
Vamos substituir os valores na fórmula:
theta(3) = 0 + (4 , rad/s) times 3 , s + 12 times 2 , rad/s^2 times (3 , s)^2
Calculando cada parte:
Primeira parte: 0
Segunda parte: 4 times 3 = 12 , rad
Terceira parte: 12 times 2 times 9 = 9 , rad
Somando tudo:
theta(3) = 0 + 12 + 9 = 21 , rad
Passo 4
Agora, vamos para a parte b: encontrar a velocidade angular no instante t = 3 s.
A fórmula que relaciona a velocidade angular final omega(t) com o tempo é:
omega(t) = omega0 + alpha t
Onde:
omega(t) é a velocidade angular no tempo t.
omega0 é a velocidade angular inicial.
alpha é a aceleração angular.
t é o tempo.
Passo 5
Substituindo os valores na fórmula:
omega(3) = 4 , rad/s + 2 , rad/s^2 times 3 , s
Calculando:
omega(3) = 4 + 6 = 10 , rad/s
Resposta
a. O ângulo de O P com a horizontal em t = 3 s é 21 , rad.
b. A velocidade angular nesse instante é 10 , rad/s.