Partindo do tensor do campo eletromagnético
(a) Calcule o dual
(b) Calcule os invariantes

Passo 1

E aí! Vamos resolver esse exercício sobre o tensor do campo eletromagnético. Basicamente, a gente precisa lidar com matrizes que representam os campos elétrico e magnético. No item (a), vamos calcular o dual desse tensor usando o símbolo de Levi-Civita, que é uma ferramenta matemática para lidar com orientações espaciais. No item (b), vamos encontrar alguns invariantes, que são combinações desses tensores que não mudam, independente da referência que a gente use. Para isso, vamos precisar entender como multiplicar esses tensores e aplicar as propriedades do símbolo de Levi-Civita.

Passo 2

Vamos começar com o item (a). O dual do tensor eletromagnético é definido por:
Aqui, é o símbolo de Levi-Civita, que é igual a 1 ou -1 dependendo da paridade da permutação dos índices, e 0 se houver índices repetidos. O tensor é dado no enunciado.

Passo 3

Agora, vamos calcular cada componente de . Precisamos somar sobre os índices e . Vamos considerar que e variam de 0 a 3, onde 0 representa o tempo e 1, 2, 3 representam as coordenadas espaciais.
Vamos calcular, por exemplo, :
Sabemos que e , então:
Repetimos esse processo para todos os componentes necessários.

Passo 4

Após calcular todos os componentes, obtemos a matriz do dual . Ela fica assim:

Passo 5

Agora vamos para o item (b), onde precisamos calcular os invariantes:
Vamos calcular cada um deles separadamente.

Passo 6

Para , multiplicamos os componentes correspondentes e somamos:
Onde e .

Passo 7

Para , fazendo a multiplicação temos:
Isso porque os termos se cancelam devido às propriedades simétricas dos tensores envolvidos.

Passo 8

Por fim, para , calculamos:

Resposta

(a) O dual é
(b) Os invariantes são

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a) ( ) N.R.A.
b) ( )
c)
d) ( )
e) ( )
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a)
b)
c)
d)
e)
f)