Partindo do tensor do campo eletromagnético
F^mu nu=(cccc 0 & E1c & E2c & E3c -E1c & 0 & B3 & -B2 -E2c & -B3 & 0 & B1 -E3c & B2 & -B1 & 0 )
(a) Calcule o dual
G^mu nu=12 varepsilon^mu nu alpha beta Falpha beta
(b) Calcule os invariantes
F^mu nu Fmu nu, F^mu nu Gmu nu, G^mu nu Gmu nu

Passo 1

E aí! Vamos resolver esse exercício sobre o tensor do campo eletromagnético. Basicamente, a gente precisa lidar com matrizes que representam os campos elétrico e magnético. No item (a), vamos calcular o dual desse tensor usando o símbolo de Levi-Civita, que é uma ferramenta matemática para lidar com orientações espaciais. No item (b), vamos encontrar alguns invariantes, que são combinações desses tensores que não mudam, independente da referência que a gente use. Para isso, vamos precisar entender como multiplicar esses tensores e aplicar as propriedades do símbolo de Levi-Civita.

Passo 2

Vamos começar com o item (a). O dual do tensor eletromagnético G^mu nu = 12 varepsilon^mu nu alpha beta Falpha beta é definido por:
Aqui, é o símbolo de Levi-Civita, que é igual a 1 ou -1 dependendo da paridade da permutação dos índices, e 0 se houver índices repetidos. O tensor é dado no enunciado.

Passo 3

Agora, vamos calcular cada componente de G^01 = 12 ( varepsilon^0123 F23 + varepsilon^0132 F32 ) . Precisamos somar sobre os índices G^01 = 12 (1 cdot B1 - 1 cdot (-B1)) = B1 e . Vamos considerar que e variam de 0 a 3, onde 0 representa o tempo e 1, 2, 3 representam as coordenadas espaciais.
Vamos calcular, por exemplo, :
Sabemos que e , então:
Repetimos esse processo para todos os componentes necessários.

Passo 4

Após calcular todos os componentes, obtemos a matriz do dual G^mu nu = (cccc 0 & B1 & B2 & B3 -B1 & 0 & E3c & -E2c -B2 & -E3c & 0 & E1c -B3 & E2c & -E1c & 0 ) . Ela fica assim:

Passo 5

Agora vamos para o item (b), onde precisamos calcular os invariantes:
Vamos calcular cada um deles separadamente.

Passo 6

Para F^mu nu Fmu nu = 2 ( E^2c^2 - B^2 ) , multiplicamos os componentes correspondentes e somamos:
Onde e .

Passo 7

Para F^mu nu Gmu nu = 0 , fazendo a multiplicação temos:
Isso porque os termos se cancelam devido às propriedades simétricas dos tensores envolvidos.

Passo 8

Por fim, para G^mu nu Gmu nu = -2 ( E^2 - B^2c^2 ) , calculamos:

Resposta

(a) O dual G^mu nu = (cccc 0 & B1 & B2 & B3 -B1 & 0 & E3c & -E2c -B2 & -E3c & 0 & E1c -B3 & E2c & -E1c & 0 ) é
F^mu nu Fmu nu = 2 ( E^2c^2 - B^2 )
(b) Os invariantes são
F^mu nu Gmu nu = 0
G^mu nu Gmu nu = -2 ( E^2 - B^2c^2 )

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