Quando um chuveiro é aberto em um banheiro fechado, os respingos de água no piso do boxe podem encher o ar de ions negativos e produzir um campo elétrico no ar de até
1000 N/C. Considere um banheiro de dimensões 2,0 m times 2,0 m times 3,0 m. Suponha que no teto, no piso e nas quatro paredes o campo elétrico no ar é perpendicular à superfície e possui um módulo uniforme de 600 N/C. Suponha também que o teto, o piso e as paredes formam uma superficie gaussiana que envolve o ar do banheiro. A densidade volumétrica de cargas elétricas distribuídas
no banheiro é dada por:
a) ( ) N.R.A.
b) ( ) 1,8 times 10^-8 C / m^3
c) (infty) 1,4 times 10^8 C / m^3
d) ( ) 1,2 times 10^8 C / m^3
e) ( ) 1,6 times 10^-8 C / m^3

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um banheiro fechado com dimensões de 2,0 m × 2,0 m × 3,0 m. Quando o chuveiro é ligado, o ar dentro do banheiro fica carregado com íons negativos, criando um campo elétrico uniforme de 600 N/C em todas as superfícies internas (teto, piso e paredes). O conteúdo da matéria que vamos usar é a Lei de Gauss, que relaciona o campo elétrico com a densidade de carga elétrica. Precisamos calcular a densidade volumétrica de cargas elétricas no ar do banheiro.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área total da superfície gaussiana, que é o teto, piso e as quatro paredes do banheiro.
A área do teto ou do piso é:
Ateto/piso = comprimento times largura = 2,0,m times 2,0,m = 4,0,m² ²
Como temos teto e piso, a área total dessas duas superfícies é:
2 times 4,0,m² = 8,0,m² ²²
Agora, calculamos a área das quatro paredes. Cada parede tem:
Aparede = a²
Como são quatro paredes:
4 times 6,0,m² = 24,0,m² ²²
Então, a área total da superfície gaussiana é:
Atotal = 8,0,m² + 24,0,m² = 32,0,m² ²²²

Passo 3

Agora, usamos a Lei de Gauss, que é dada por:
Phi = oint E cdot dA = Qinternovarepsilon0
Onde:
  • Phi = E times Atotal = 600,N/C times 32,0,m² = 19.200,N cdot m²/C é o fluxo elétrico total,
  • é o campo elétrico,
  • é o elemento de área da superfície,
  • é a carga total dentro da superfície,
  • é a permissividade do vácuo ( ).
Como o campo elétrico é uniforme e perpendicular a todas as superfícies, o fluxo elétrico total é:
²²

Passo 4

Agora, reorganizamos a Lei de Gauss para encontrar a carga interna:
Qinterno = Phi times varepsilon0 = 19.200,N cdot m²/C times 8,85 times 10^-12,C^2/(N cdot m^2) ²
Qinterno = 1,7004 times 10^-7,C

Passo 5

Por fim, para encontrar a densidade volumétrica de carga ( rho = QinternoV ), usamos a relação:
V = comprimento times largura times a
Calculamos o volume do banheiro:
rho = 1,7004 times 10^-7,C12,0,m³ = 1,417 times 10^-8,C/m³ ³
Então:
rho approx 1,4 times 10^-8,C/m³ ³³
Arredondando, temos:
³

Resposta

A densidade volumétrica de cargas elétricas distribuídas no banheiro é de aproximadamente ³. Portanto, a alternativa correta é a letra b).

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