A partir da definição, encontre a derivada de f(x) = ln(x).

Passo 1

Beleza, vamos encontrar a derivada da função . Isso faz parte do cálculo diferencial, onde estudamos como uma função muda em relação à sua variável. Para resolver isso, vamos utilizar a definição de derivada, que envolve limites e algumas manipulações algébricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de derivada. A derivada de em é dada por:
No nosso caso, , então substituindo na definição:

Passo 3

Para simplificar a expressão do numerador, vamos usar uma propriedade dos logaritmos que diz que a diferença de logaritmos é igual ao logaritmo do quociente:
Aplicando isso na nossa expressão:

Passo 4

Vamos simplificar a fração dentro do logaritmo:
Então, nossa expressão fica:

Passo 5

Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar o cálculo do limite. Seja . Quando , também . Além disso, . Substituindo na expressão:

Passo 6

Sabemos de limites fundamentais que:
Esse é um resultado chave no cálculo que nos ajuda a simplificar a expressão.

Passo 7

Finalmente, substituímos o limite encontrado:

Resposta

A derivada de é:

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