A partir da definição, encontre a derivada de
.
Passo 1
Beleza, vamos encontrar a derivada da função
. Isso faz parte do cálculo diferencial, onde estudamos como uma função muda em relação à sua variável. Para resolver isso, vamos utilizar a definição de derivada, que envolve limites e algumas manipulações algébricas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de derivada. A derivada de
em
é dada por:
No nosso caso,
, então substituindo na definição:
Passo 3
Para simplificar a expressão do numerador, vamos usar uma propriedade dos logaritmos que diz que a diferença de logaritmos é igual ao logaritmo do quociente:
Aplicando isso na nossa expressão:
Passo 4
Vamos simplificar a fração dentro do logaritmo:
Então, nossa expressão fica:
Passo 5
Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar o cálculo do limite. Seja
. Quando
, também
. Além disso,
. Substituindo na expressão:
Passo 6
Sabemos de limites fundamentais que:
Esse é um resultado chave no cálculo que nos ajuda a simplificar a expressão.
Passo 7
Finalmente, substituímos o limite encontrado:
Resposta
A derivada de
é: