A partir da definição, encontre a derivada de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada da função
usando a definição de derivada. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas. Para isso, vamos precisar aplicar a definição básica de derivada, que envolve limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de uma função
em um ponto
é o limite da taxa de variação da função quando o incremento tende a zero. Matematicamente, isso é representado por:
Vamos usar essa fórmula para encontrar a derivada de
.
Passo 3
Agora, vamos calcular
. Substituímos
por
na função original:
Vamos expandir os termos:
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Simplificando os termos:
Passo 5
Em seguida, dividimos a diferença que acabamos de encontrar por
:
Podemos fatorar
no numerador:
Passo 6
Agora, vamos calcular o limite quando
tende a zero:
Resposta
A derivada da função
é
.