A partir da equação de Clapeyron, é possível determinar a densidade de um determinado gás. Mostre que a densidade de um gás depende linearmente de P^-1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar, usando a equação de Clapeyron, que a densidade de um gás depende linearmente de P^-1 (ou seja, é inversamente proporcional à pressão). Para isso, vamos precisar entender a equação de Clapeyron e como ela se relaciona com a densidade de um gás.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação de Clapeyron, que é uma forma da Lei dos Gases Ideais. Ela é dada por:
PV = nRT
Onde:
  • P é a pressão,
  • V é o volume,
  • n é a quantidade de matéria (em mols),
  • R é a constante dos gases ideais,
  • T é a temperatura.

Passo 3

Agora, precisamos relacionar essa equação com a densidade do gás. A densidade ( rho) é definida como a massa do gás por unidade de volume:
rho = mV
Onde:
  • m é a massa,
  • V é o volume.

Passo 4

Vamos expressar a massa m em termos de n (mols) e a massa molar M do gás:
m = nM
Substituindo isso na equação da densidade:
rho = nMV

Passo 5

Agora, vamos reorganizar a equação de Clapeyron para expressar V em termos de n, P, R e T:
V = nRTP

Passo 6

Substituindo essa expressão de V na equação da densidade:
rho = nMnRTP = nM cdot PnRT = MPRT

Passo 7

Observamos que os termos n se cancelaram, ficando:
rho = MPRT
Essa equação mostra que a densidade rho é diretamente proporcional à pressão P.

Passo 8

Para mostrar que a densidade depende linearmente de P^-1, podemos reescrever a equação:
rho = MPRT implies 1rho = RTMP
Isso indica que 1rho é proporcional à pressão P, ou seja, rho é inversamente proporcional a P.

Resposta

Assim, demonstramos que a densidade de um gás ( rho) depende linearmente de P^-1, ou seja, rho propto 1P.

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