A partir da equação de Fick para a difusão de A através da mistura de A e B, prove:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que, na difusão de A através de uma mistura de A e B, a soma das fluxos de A e B é igual a zero, ou seja,
. A matéria envolvida aqui é a difusão, e vamos usar a Lei de Fick para resolver isso. Precisamos entender como os fluxos de cada substância se comportam dentro da mistura.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Fick. Ela descreve como uma substância se difunde de uma região de alta concentração para uma região de baixa concentração. A Primeira Lei de Fick é dada por:
Aqui,
é o fluxo de massa,
é o coeficiente de difusão, e
é o gradiente de concentração.
Passo 3
No caso de uma mistura de A e B, temos que considerar os fluxos individuais de cada substância. Vamos chamar os fluxos de A e B de
e
, respectivamente. Aplicando a Lei de Fick para cada uma:
Onde
e
são os coeficientes de difusão de A e B, e
e
são as concentrações de A e B.
Passo 4
Em uma mistura fechada e sem criação ou destruição de espécies, o transporte de A deve ser compensado pelo transporte de B. Ou seja, se A está se movendo para uma direção, B necessariamente se move na direção oposta para manter o equilíbrio. Matemáticamente, isso significa que os fluxos são iguais em magnitude, mas opostos em sentido.
Passo 5
Assim, podemos relacionar os fluxos de A e B da seguinte forma:
Isso significa que:
Resposta
Portanto, provamos que a soma dos fluxos de A e B é igual a zero, ou seja: