A partir da equação de Fick para a difusão de A através da mistura de A e B, prove: jA+jB=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que, na difusão de A através de uma mistura de A e B, a soma das fluxos de A e B é igual a zero, ou seja, jA + jB = 0. A matéria envolvida aqui é a difusão, e vamos usar a Lei de Fick para resolver isso. Precisamos entender como os fluxos de cada substância se comportam dentro da mistura.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Fick. Ela descreve como uma substância se difunde de uma região de alta concentração para uma região de baixa concentração. A Primeira Lei de Fick é dada por:
j = -D nabla C
Aqui, j é o fluxo de massa, D é o coeficiente de difusão, e nabla C é o gradiente de concentração.

Passo 3

No caso de uma mistura de A e B, temos que considerar os fluxos individuais de cada substância. Vamos chamar os fluxos de A e B de jA e jB, respectivamente. Aplicando a Lei de Fick para cada uma:
jA = -DA nabla CA
jB = -DB nabla CB
Onde DA e DB são os coeficientes de difusão de A e B, e CA e CB são as concentrações de A e B.

Passo 4

Em uma mistura fechada e sem criação ou destruição de espécies, o transporte de A deve ser compensado pelo transporte de B. Ou seja, se A está se movendo para uma direção, B necessariamente se move na direção oposta para manter o equilíbrio. Matemáticamente, isso significa que os fluxos são iguais em magnitude, mas opostos em sentido.

Passo 5

Assim, podemos relacionar os fluxos de A e B da seguinte forma:
jA = -jB
Isso significa que:
jA + jB = 0

Resposta

Portanto, provamos que a soma dos fluxos de A e B é igual a zero, ou seja:
jA + jB = 0

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