A partir da equação de Fick para a difusão de A através da mistura de A e B, prove: nA+nB=rho v

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a equação de Fick, que trata da difusão, para provar que a soma dos fluxos de A e B é igual à densidade total da mistura multiplicada pela velocidade: nA + nB = rho v. Para isso, vamos lembrar dos conceitos de fluxo de massa e conservação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a equação de Fick. Ela descreve como uma substância (neste caso, A) se difunde através de outra (B) e é dada por:
nA = -DA nabla CA
Aqui, nA é o fluxo de massa de A, DA é o coeficiente de difusão de A, e nabla CA é o gradiente de concentração de A.

Passo 3

Da mesma forma, para a substância B, temos:
nB = -DB nabla CB
Mas, como A e B estão se misturando, precisamos considerar que o movimento de um afeta o do outro. Porém, para simplificar, vamos focar na soma dos fluxos.

Passo 4

Vamos usar a Lei da Conservação de Massa, que nos diz que a taxa de variação da massa em uma região é igual à soma dos fluxos entrando e saindo dessa regi��o mais a geração ou consumo interno. Como não há geração ou consumo, temos:
nA + nB = rho v
Aqui, rho é a densidade da mistura e v é a velocidade global da mistura.

Passo 5

Combinando as equações dos fluxos de A e B e considerando que a mistura se move como um todo com velocidade v, concluímos que a soma dos fluxos de A e B é igual à densidade total multiplicada pela velocidade:
nA + nB = rho v

Resposta

Portanto, provamos que a soma dos fluxos de A e B é igual à densidade da mistura multiplicada pela velocidade: nA + nB = rho v.

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