A partir da equação de Fick para a difusão de A através da mistura de A e B, prove:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a equação de Fick, que trata da difusão, para provar que a soma dos fluxos de A e B é igual à densidade total da mistura multiplicada pela velocidade:
. Para isso, vamos lembrar dos conceitos de fluxo de massa e conservação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a equação de Fick. Ela descreve como uma substância (neste caso, A) se difunde através de outra (B) e é dada por:
Aqui,
é o fluxo de massa de A,
é o coeficiente de difusão de A, e
é o gradiente de concentração de A.
Passo 3
Da mesma forma, para a substância B, temos:
Mas, como A e B estão se misturando, precisamos considerar que o movimento de um afeta o do outro. Porém, para simplificar, vamos focar na soma dos fluxos.
Passo 4
Vamos usar a Lei da Conservação de Massa, que nos diz que a taxa de variação da massa em uma região é igual à soma dos fluxos entrando e saindo dessa regi��o mais a geração ou consumo interno. Como não há geração ou consumo, temos:
Aqui,
é a densidade da mistura e
é a velocidade global da mistura.
Passo 5
Combinando as equações dos fluxos de A e B e considerando que a mistura se move como um todo com velocidade
, concluímos que a soma dos fluxos de A e B é igual à densidade total multiplicada pela velocidade:
Resposta
Portanto, provamos que a soma dos fluxos de A e B é igual à densidade da mistura multiplicada pela velocidade:
.