A partir da equação geral da difusão, faça as devidas simplificações, identificando o motivo para eliminação ou manutenção dos seus termos e encontre a forma apropriada da equação da difusão para o caso da condução unidimensional, em regime permanente, com geração de energia térmica.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A questão quer que a gente pegue a equação geral da difusão e simplifique ela para um caso específico: condução unidimensional, em regime permanente, com geração de energia térmica. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre a equação de difusão de calor, entender o que significa cada termo e como aplicar as condições dadas para simplificar a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a equação geral da difusão de calor. Ela descreve como a temperatura varia no espaço e no tempo devido à condução de calor. A forma geral dessa equação é:
Aqui:
-
é a temperatura, -
é o tempo, -
é a difusividade térmica, -
é o laplaciano de , que representa como a temperatura varia no espaço, -
é a taxa de geração de calor por unidade de volume, -
é a densidade do material, -
é a capacidade térmica específica a pressão constante.
Passo 3
Agora, vamos aplicar as condições específicas do problema para simplificar essa equação.
1. Condução Unidimensional:
Isso significa que a temperatura varia apenas em uma direção, digamos, ao longo do eixo . Então, as derivadas em relação às outras direções (
e
) desaparecem. O laplaciano simplifica para:
Isso significa que a temperatura varia apenas em uma direção, digamos, ao longo do eixo
2. Regime Permanente:
Em regime permanente, a temperatura não muda com o tempo. Ou seja, .
Em regime permanente, a temperatura não muda com o tempo. Ou seja,
3. Geração de Energia Térmica:
Isso está representado pelo termo na equação.
Isso está representado pelo termo
Passo 4
Vamos substituir essas condições na equação geral:
Aqui, a parte temporal desapareceu por causa do regime permanente, e mantivemos o termo de geração de calor.
Passo 5
Agora, para simplificar ainda mais, podemos reorganizar a equação para isolar a segunda derivada de
:
Isso nos dá uma equação diferencial ordinária que relaciona a variação da temperatura ao longo do eixo
com a geração de calor interna.
Resposta
A equação da difusão para condução unidimensional, em regime permanente, com geração de energia térmica é: