A partir da equação geral da difusão, faça as devidas simplificações, identificando o motivo para eliminação ou manutenção dos seus termos e encontre a forma apropriada da equação da difusão para o caso da condução unidimensional, em regime permanente, com geração de energia térmica.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A questão quer que a gente pegue a equação geral da difusão e simplifique ela para um caso específico: condução unidimensional, em regime permanente, com geração de energia térmica. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre a equação de difusão de calor, entender o que significa cada termo e como aplicar as condições dadas para simplificar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação geral da difusão de calor. Ela descreve como a temperatura varia no espaço e no tempo devido à condução de calor. A forma geral dessa equação é:
partial Tpartial t = alpha nabla^2 T + Qrho cp
Aqui:
  • é a temperatura,
  • é o tempo,
  • é a difusividade térmica,
  • é o laplaciano de , que representa como a temperatura varia no espaço,
  • é a taxa de geração de calor por unidade de volume,
  • é a densidade do material,
  • é a capacidade térmica específica a pressão constante.

Passo 3

Agora, vamos aplicar as condições específicas do problema para simplificar essa equação.
1. Condução Unidimensional:
Isso significa que a temperatura varia apenas em uma direção, digamos, ao longo do eixo nabla^2 T = partial^2 Tpartial x^2 . Então, as derivadas em relação às outras direções ( e ) desaparecem. O laplaciano simplifica para:
2. Regime Permanente:
Em regime permanente, a temperatura não muda com o tempo. Ou seja, .
3. Geração de Energia Térmica:
Isso está representado pelo termo na equação.

Passo 4

Vamos substituir essas condições na equação geral:
0 = alpha partial^2 Tpartial x^2 + Qrho cp
Aqui, a parte temporal desapareceu por causa do regime permanente, e mantivemos o termo de geração de calor.

Passo 5

Agora, para simplificar ainda mais, podemos reorganizar a equação para isolar a segunda derivada de partial^2 Tpartial x^2 = -Qalpha rho cp :
Isso nos dá uma equação diferencial ordinária que relaciona a variação da temperatura ao longo do eixo com a geração de calor interna.

Resposta

A equação da difusão para condução unidimensional, em regime permanente, com geração de energia térmica é:
d^2 Tdx^2 = -Qalpha rho cp

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