(6) Na questão anterior, foi dado o campo vetorial F(x, y)=(-yx^2+y^2, xx^2+y^2).
(a) Mostre que partialpartial x(xx^2+y^2)=partialpartial y(-yx^2+y^2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que as derivadas parciais de duas funções são iguais. Estamos trabalhando com cálculo multivariável, especificamente com derivadas parciais. Para resolver isso, vamos calcular cada derivada separadamente e depois comparar os resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de xx^2 + y^2 em relação a x. Isso significa que vamos tratar y como uma constante e derivar em relação a x.
A função é:
f(x, y) = xx^2 + y^2

Passo 3

Usamos a regra do quociente para derivar:
partial fpartial x = (1)(x^2 + y^2) - x(2x)(x^2 + y^2)^2 = x^2 + y^2 - 2x^2(x^2 + y^2)^2 = -x^2 + y^2(x^2 + y^2)^2

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de -yx^2 + y^2 em relação a y. Aqui, tratamos x como uma constante e derivamos em relação a y.
A função é:
g(x, y) = -yx^2 + y^2

Passo 5

Aplicamos novamente a regra do quociente:
partial gpartial y = (-1)(x^2 + y^2) - (-y)(2y)(x^2 + y^2)^2 = -x^2 - y^2 + 2y^2(x^2 + y^2)^2 = -x^2 + y^2(x^2 + y^2)^2

Resposta

Conseguimos mostrar que:
partialpartial x(xx^2+y^2) = partialpartial y(-yx^2+y^2) = -x^2 + y^2(x^2 + y^2)^2

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