(6) Na questão anterior, foi dado o campo vetorial .
(a) Mostre que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que as derivadas parciais de duas funções são iguais. Estamos trabalhando com cálculo multivariável, especificamente com derivadas parciais. Para resolver isso, vamos calcular cada derivada separadamente e depois comparar os resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Isso significa que vamos tratar como uma constante e derivar em relação a .
A função é:

Passo 3

Usamos a regra do quociente para derivar:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Aqui, tratamos como uma constante e derivamos em relação a .
A função é:

Passo 5

Aplicamos novamente a regra do quociente:

Resposta

Conseguimos mostrar que:

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(5) Calcule diretamente a integral de linha , na qual c é o círculo percorrido no sentido anti-horário.
  • Resposta :
A partir da Equação (1), obtenha as Equações (2), (3) e (4).



(6) Na questão anterior, foi dado o campo vetorial .
(b) Nesse caso temos um campo vetorial , onde . No entanto esse campo NÃO é conservativo! Se de fato esse campo vetorial fosse conservativo, então, pelo Teorema Fundamental da Integral de Linha, a integral de linha da questão anterior deveria ter dado zero (o que não aconteceu). Explique o porque disso ter acontecido.
(a) O que é uma sequência?