A partir da função de onda:
y(x^prime, t)=A sen k x^prime
em que x^prime=x-v t é o deslocamento incidente do pulso de onda e k=2 pi / lambda é o número de onda, deduza uma expressão do deslocamento y(x, t) escrita em termos de k, x, t e omega (frequência angular). Esta nova função de onda encontrada é solução para a equação de onda? (Valor: 2,0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma função de onda , onde e . O conteúdo que vamos usar aqui envolve ondas mecânicas, especificamente a forma das funções de onda e a equação de onda. Precisamos transformar essa função para em termos de e , a frequência angular.

Passo 2

Primeiro, substituímos y(x, t) = A sen(k (x - vt)) na função original pela expressão :
Isso nos dá uma expressão da onda em termos de e , mas ainda não está em termos de .

Passo 3

Sabemos que a frequência angular omega = v k está relacionada à velocidade da onda v = omegak e ao número de onda pela relação:
Podemos rearranjar isso para expressar em termos de e :

Passo 4

Agora, substituímos y(x, t) = A sen(k x - k cdot omegak t) = A sen(kx - omega t) na nossa expressão de :
Assim, temos a função de onda em termos de e .

Passo 5

Para verificar se essa nova função é solução da equação de onda, lembramos que a equação de onda é:
partial^2 ypartial t^2 = v^2 partial^2 ypartial x^2
Vamos calcular as derivadas:
Primeira derivada em partial ypartial t = -A omega cos(kx - omega t) :
partial^2 ypartial t^2 = -A omega^2 sen(kx - omega t)
Segunda derivada em partial ypartial x = A k cos(kx - omega t) :
Primeira derivada em partial^2 ypartial x^2 = -A k^2 sen(kx - omega t) :
-A omega^2 sen(kx - omega t) = v^2 (-A k^2 sen(kx - omega t))
Segunda derivada em omega^2 = v^2 k^2 :
Substituindo na equação de onda:
Simplificando:
O que confirma que a equação é satisfeita, já que .

Resposta

A expressão do deslocamento é e essa função é solução da equação de onda.

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