Um solenoide longo com 10,0 espiras/cm e um raio de 7,00 cm conduz uma corrente de 20,0 mA. Um condutor retilíneo situado no eixo central do solenoide conduz uma corrente de 6,00 A. (a) A que distância do eixo do solenoide a direção do campo magnético resultante faz um ângulo de 45^circ com a direção do eixo? (b) Qual é o módulo do campo magnético a essa distância do eixo?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um solenoide longo com 10,0 espiras por centímetro e um raio de 7,00 cm que está conduzindo uma corrente de 20,0 mA. Além disso, há um fio retilíneo no eixo do solenoide com corrente de 6,00 A. Precisamos encontrar:
(a) A distância do eixo do solenoide onde a direção do campo magnético resultante forma um ângulo de 45^circ com o eixo.
(b) O módulo do campo magnético nessa distância.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de campos magnéticos produzidos por solenoides e fios retilíneos, além de entender como eles se combinam.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o campo magnético gerado pelo solenoide. A fórmula para o campo magnético dentro de um solenoide é:
Bso<=noide = mu0 cdot n cdot I
Onde:
  • mu0 é a permeabilidade do vácuo ( 4pi times 10^-7 T·m/A),
  • n é o número de espiras por unidade de comprimento,
  • I é a corrente que passa pelo solenoide.
Convertendo o número de espiras por centímetro para por metro:
n = 10,0 espiras/cm = 1000 espiras/m
Agora, a corrente no solenoide é de 20,0 mA, ou seja, I = 20,0 times 10^-3 A.
Substituindo na fórmula:
Bso<=noide = 4pi times 10^-7 T·m/A times 1000 espiras/m times 20,0 times 10^-3 A

Passo 3

Calculando o campo do solenoide:
Bso<=noide = 4pi times 10^-7 times 1000 times 20 times 10^-3 = 4pi times 10^-7 times 20 = 8pi times 10^-6 T
Agora, vamos calcular o campo magnético gerado pelo fio retilíneo no eixo do solenoide. A fórmula para o campo magnético a uma distância r de um fio retilíneo é:
Bfio = mu0 cdot I2pi r
Onde I é a corrente no fio e r é a distância do fio.

Passo 4

Sabemos que o campo magnético resultante faz um ângulo de 45^circ com o eixo. Isso significa que os campos do solenoide e do fio formam um vetor resultante que faz esse ângulo.
Podemos usar relações trigonométricas para isso. Como o ângulo é 45^circ, os componentes dos campos devem ser iguais:
Bso<=noide = Bfio
Então, igualando os dois campos:
8pi times 10^-6 = 4pi times 10^-7 times 6,002pi r

Passo 5

Agora, vamos resolver para r:
Primeiro, simplificamos os termos:
8pi times 10^-6 = 4pi times 10^-7 times 62pi r
Cancelando pi:
8 times 10^-6 = 4 times 10^-7 times 62 r
Simplificando os números:
8 times 10^-6 = 24 times 10^-72 r = 12 times 10^-7r
Agora, isolamos r:
r = 12 times 10^-78 times 10^-6 = 128 times 10^-1 = 1,5 times 10^-1 m
Convertendo para centímetros:
r = 0,15 m = 15,0 cm

Resposta

(a) A distância do eixo do solenoide onde o campo magnético resultante forma um ângulo de 45^circ é de 15,0 cm.
(b) O módulo do campo magnético a essa distância é de aproximadamente 8π × 10⁻⁶ T.

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