A partir da lei de Gauss na forma diferencial, obtenha a equação de Poisson
nabla^2 V=-rhoepsilon0
Desafio: mostre que a solução para essa equação é justamente o potencial para uma distribuição volumétrica de cargas (
V(r)=14 pi epsilon0 integral rho(r^prime)n d tau^prime

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente usar a Lei de Gauss na forma diferencial pra chegar na equação de Poisson, que é:
nabla^2 V = -rhoepsilon0
Depois, o desafio é mostrar que a solução dessa equação dá justamente o potencial elétrico para uma distribuição de cargas volumétrica, que é:
V(r) = 14 pi epsilon0 integral rho(r^prime)|r - r^prime| , dtau^prime
Pra resolver isso, vamos precisar entender de cálculo vetorial, especificamente a Lei de Gauss, o operador Laplaciano ( ), e como resolver equações diferenciais como a de Poisson.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Lei de Gauss na forma diferencial. Ela relaciona o divergente do campo elétrico nabla cdot E = rhoepsilon0 com a densidade de carga E = -nabla V :
Mas a gente sabe que o campo elétrico está relacionado ao potencial elétrico por:

Passo 3

Substituindo nabla cdot (-nabla V) = rhoepsilon0 na Lei de Gauss, temos:
-nabla cdot nabla V = rhoepsilon0
Isso simplifica pra:
-nabla^2 V = rhoepsilon0
E como nabla^2 V = -rhoepsilon0 é o operador Laplaciano aplicado a , que é , ficamos com:
Ou seja:
E aí está a equação de Poisson!

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação de Poisson:
nabla^2 V = -rhoepsilon0
Para resolver isso, a gente utiliza o princípio da superposição e a ideia de potencial gerado por uma pequena carga. O potencial devido a uma pequena quantidade de carga dV(r) = 14 pi epsilon0 rho(r')|r - r'| dtau' em é:

Passo 5

Integrando essa contribuição de todas as pequenas cargas no volume, obtemos o potencial total V(r) = 14 pi epsilon0 integral rho(r')|r - r'| , dtau' :
Isso mostra que a solução da equação de Poisson para uma distribuição volumétrica de cargas é exatamente essa integral, que soma o potencial de todas as pequenas cargas espalhadas no volume.

Resposta

A solução para a equação de Poisson, que representa o potencial elétrico V(r) = 14 pi epsilon0 integral rho(r')|r - r'| , dtau' para uma distribuição volumétrica de cargas, é:

Exercícios relacionados