A partir da lei de Gauss na forma diferencial, obtenha a equação de Poisson
Desafio: mostre que a solução para essa equação é justamente o potencial para uma distribuição volumétrica de cargas (

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente usar a Lei de Gauss na forma diferencial pra chegar na equação de Poisson, que é:
Depois, o desafio é mostrar que a solução dessa equação dá justamente o potencial elétrico para uma distribuição de cargas volumétrica, que é:
Pra resolver isso, vamos precisar entender de cálculo vetorial, especificamente a Lei de Gauss, o operador Laplaciano ( ), e como resolver equações diferenciais como a de Poisson.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Lei de Gauss na forma diferencial. Ela relaciona o divergente do campo elétrico com a densidade de carga :
Mas a gente sabe que o campo elétrico está relacionado ao potencial elétrico por:

Passo 3

Substituindo na Lei de Gauss, temos:
Isso simplifica pra:
E como é o operador Laplaciano aplicado a , que é , ficamos com:
Ou seja:
E aí está a equação de Poisson!

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação de Poisson:
Para resolver isso, a gente utiliza o princípio da superposição e a ideia de potencial gerado por uma pequena carga. O potencial devido a uma pequena quantidade de carga em é:

Passo 5

Integrando essa contribuição de todas as pequenas cargas no volume, obtemos o potencial total :
Isso mostra que a solução da equação de Poisson para uma distribuição volumétrica de cargas é exatamente essa integral, que soma o potencial de todas as pequenas cargas espalhadas no volume.

Resposta

A solução para a equação de Poisson, que representa o potencial elétrico para uma distribuição volumétrica de cargas, é:

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b) Considerando o chuveiro ligado por 1 h por dia, calcule o preço final da energia usada em 30 dias para a bandeira verde e bandeira vermelha 2.
Substância
Condutores
Metais Prata
Cobre
Ouro
Alumínio
Tungstênio
Aço
Chumbo
Mercúrio
Ligas Manganina (Cu 84%, Mn 12%, Ni 4%)
Constantan (Cu 60%, Ni 40%)
Nicromo
BI- RESIDENCIAL <br> NORMAL BANDEIRA VERDE - <br> CONSUMO R$/KWH BANDEIRA AMARELA - <br> CONSUMO R$/KWH BANDEIRA VERMELHA - - <br> CONSUMO R$/KWH BANDEIRA VERMELHA 2 <br> -CONSUMO R$/KWH
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