A partir da lei de Gauss na forma diferencial, obtenha a equação de Poisson
Desafio: mostre que a solução para essa equação é justamente o potencial para uma distribuição volumétrica de cargas (
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente usar a Lei de Gauss na forma diferencial pra chegar na equação de Poisson, que é:
Depois, o desafio é mostrar que a solução dessa equação dá justamente o potencial elétrico para uma distribuição de cargas volumétrica, que é:
Pra resolver isso, vamos precisar entender de cálculo vetorial, especificamente a Lei de Gauss, o operador Laplaciano (
), e como resolver equações diferenciais como a de Poisson.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Lei de Gauss na forma diferencial. Ela relaciona o divergente do campo elétrico
com a densidade de carga
:
Mas a gente sabe que o campo elétrico
está relacionado ao potencial elétrico
por:
Passo 3
Substituindo
na Lei de Gauss, temos:
Isso simplifica pra:
E como
é o operador Laplaciano aplicado a
, que é
, ficamos com:
Ou seja:
E aí está a equação de Poisson!
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação de Poisson:
Para resolver isso, a gente utiliza o princípio da superposição e a ideia de potencial gerado por uma pequena carga. O potencial devido a uma pequena quantidade de carga
em
é:
Passo 5
Integrando essa contribuição de todas as pequenas cargas no volume, obtemos o potencial total
:
Isso mostra que a solução da equação de Poisson para uma distribuição volumétrica de cargas é exatamente essa integral, que soma o potencial de todas as pequenas cargas espalhadas no volume.
Resposta
A solução para a equação de Poisson, que representa o potencial elétrico
para uma distribuição volumétrica de cargas, é:
Exercícios relacionados
Um chuveiro é conectado diretamente à rede em 127 V . Sua resistência é formada por uma liga metálica de níquel e cromo (nicromo) e é dividida em duas partes: a primeira com comprimento de
e a segunda com comprimento de 1 m . Ambas partes possuem seção de
. Na opção a) Determine a potência do chuveiro nas opções verão e inverno.
b) Considerando o chuveiro ligado por 1 h por dia, calcule o preço final da energia usada em 30 dias para a bandeira verde e bandeira vermelha 2.
b) Considerando o chuveiro ligado por 1 h por dia, calcule o preço final da energia usada em 30 dias para a bandeira verde e bandeira vermelha 2.
Substância |
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Condutores | ||||
Metais | Prata |
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Cobre |
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Ouro |
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Alumínio |
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Tungstênio |
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Aço |
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Chumbo |
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Mercúrio |
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Ligas | Manganina (Cu 84%, Mn 12%, Ni 4%) |
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Constantan (Cu 60%, Ni 40%) |
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Nicromo |
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BI- RESIDENCIAL <br> NORMAL | BANDEIRA VERDE - <br> CONSUMO R$/KWH | BANDEIRA AMARELA - <br> CONSUMO R$/KWH | BANDEIRA VERMELHA - - <br> CONSUMO R$/KWH | BANDEIRA VERMELHA 2 <br> -CONSUMO R$/KWH |
:— | :— | :— | :— | :— |
Residencial Normal <br> (Consumo R
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0,74906 | 0,778950 | 0,814060 | 0,847010 |
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