A partir da lei de Gauss na forma diferencial, obtenha a equação de Poisson
Desafio: mostre que a solução para essa equação é justamente o potencial para uma distribuição volumétrica de cargas (
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente usar a Lei de Gauss na forma diferencial pra chegar na equação de Poisson, que é:
Depois, o desafio é mostrar que a solução dessa equação dá justamente o potencial elétrico para uma distribuição de cargas volumétrica, que é:
Pra resolver isso, vamos precisar entender de cálculo vetorial, especificamente a Lei de Gauss, o operador Laplaciano (
), e como resolver equações diferenciais como a de Poisson.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Lei de Gauss na forma diferencial. Ela relaciona o divergente do campo elétrico
com a densidade de carga
:
Mas a gente sabe que o campo elétrico
está relacionado ao potencial elétrico
por:
Passo 3
Substituindo
na Lei de Gauss, temos:
Isso simplifica pra:
E como
é o operador Laplaciano aplicado a
, que é
, ficamos com:
Ou seja:
E aí está a equação de Poisson!
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação de Poisson:
Para resolver isso, a gente utiliza o princípio da superposição e a ideia de potencial gerado por uma pequena carga. O potencial devido a uma pequena quantidade de carga
em
é:
Passo 5
Integrando essa contribuição de todas as pequenas cargas no volume, obtemos o potencial total
:
Isso mostra que a solução da equação de Poisson para uma distribuição volumétrica de cargas é exatamente essa integral, que soma o potencial de todas as pequenas cargas espalhadas no volume.
Resposta
A solução para a equação de Poisson, que representa o potencial elétrico
para uma distribuição volumétrica de cargas, é: