A partir da lei de Gauss na forma diferencial, obtenha a equação de Poisson
Desafio: mostre que a solução para essa equação é justamente o potencial para uma distribuição volumétrica de cargas (

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar a Lei de Gauss na forma diferencial para chegar na equação de Poisson:
Depois, o desafio é mostrar que a solução dessa equação é o potencial para uma distribuição de cargas volumétricas, dado por:
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo vetorial, especialmente o gradiente (∇) e o laplaciano (∇²), além de como aplicar a Lei de Gauss na forma diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a Lei de Gauss na forma diferencial. Ela relaciona o campo elétrico E com a densidade de carga ρ:
Aqui, ∇ · E é a divergência do campo elétrico, e ε₀ é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Agora, vamos conectar o campo elétrico E com o potencial elétrico V. Sabemos que o campo elétrico é o gradiente negativo do potencial:
Substituindo isso na Lei de Gauss, temos:

Passo 4

Simplificando a equação, ficamos com:
A expressão ∇ · ∇ V é o laplaciano de V, representado por ∇² V. Então, a equação fica:

Passo 5

Multiplicando ambos os lados da equação por -1, chegamos na equação de Poisson:
Essa é a equação que queríamos obter a partir da Lei de Gauss na forma diferencial.

Passo 6

Agora, vamos para o desafio: mostrar que a solução dessa equação é o potencial dado por:
Aqui, r é o ponto onde queremos calcular o potencial, e r’ é o ponto das cargas.

Passo 7

Para mostrar que essa é uma solução, precisamos aplicar o laplaciano a e verificar se obtemos -ρ/ε₀. Vamos lembrar que o laplaciano de 1/|\mathbf{r} - \mathbf{r}^{\prime}| é:
onde δ é a função delta de Dirac.

Passo 8

Aplicando o laplaciano em :
Substituindo o resultado do laplaciano:

Passo 9

Simplificando, temos:
A propriedade da função delta de Dirac nos permite “avaliar” a função na posição r = r’, então:
Que é exatamente a equação de Poisson que obtivemos antes.

Resposta

Assim, mostramos que a solução para a equação de Poisson é realmente o potencial dado por:

Exercícios relacionados

Um disco plano plano de raio R é carregado uniformemene com carga +Q. Calcule (a) V® em um ponto P que passa ao longo do eixo do disco.
A partir da lei de Gauss na forma diferencial, obtenha a equação de Poisson
Desafio: mostre que a solução para essa equação é justamente o potencial para uma distribuição volumétrica de cargas (
Uma carga equilibrada ligada em estrela é alimentada por um sistema trifásico equilibrado com sequência positiva. Sabendo-se que a impedância da carga é e que a tensão , determine: (a) as tensões de fase e de linha na carga; (b) as correntes de linha © as potências ativa, reativa e aparente totais e o fator de potência.
Três impedâncias de carga de são conectadas em delta e alimentadas por linhas cada uma das quais tendo de resistência e de reatância indutiva. Se as tensões de linha no lado de entrada das impedâncias da linha forem trifásicas, equilibradas e de sequência ABC , tal que , determinar: (a) a tensão através das impedâncias de carga; (b) a perda de potência nas linhas de suprimento e © a potência dissipada pela carga.