A partir da lei de Gauss na forma diferencial, obtenha a equação de Poisson
nabla^2 V=-rhoepsilon0
Desafio: mostre que a solução para essa equação é justamente o potencial para uma distribuição volumétrica de cargas (
V(r)=14 pi epsilon0 integral rho(r^prime)r d tau^prime

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar a Lei de Gauss na forma diferencial para chegar na equação de Poisson:
nabla^2 V = -rhoepsilon0
Depois, o desafio é mostrar que a solução dessa equação é o potencial para uma distribuição de cargas volumétricas, dado por:
V(r) = 14 pi epsilon0 integral rho(r^prime)r d tau^prime
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo vetorial, especialmente o gradiente (∇) e o laplaciano (∇²), além de como aplicar a Lei de Gauss na forma diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a Lei de Gauss na forma diferencial. Ela relaciona o campo elétrico E com a densidade de carga ρ:
nabla cdot E = rhoepsilon0
Aqui, ∇ · E é a divergência do campo elétrico, e ε₀ é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Agora, vamos conectar o campo elétrico E com o potencial elétrico V. Sabemos que o campo elétrico é o gradiente negativo do potencial:
E = -nabla V
Substituindo isso na Lei de Gauss, temos:
nabla cdot (-nabla V) = rhoepsilon0

Passo 4

Simplificando a equação, ficamos com:
-nabla cdot nabla V = rhoepsilon0
A expressão ∇ · ∇ V é o laplaciano de V, representado por ∇² V. Então, a equação fica:
-nabla^2 V = rhoepsilon0

Passo 5

Multiplicando ambos os lados da equação por -1, chegamos na equação de Poisson:
nabla^2 V = -rhoepsilon0
Essa é a equação que queríamos obter a partir da Lei de Gauss na forma diferencial.

Passo 6

Agora, vamos para o desafio: mostrar que a solução dessa equação é o potencial dado por:
V(r) = 14 pi epsilon0 integral rho(r^prime)|r - r^prime| d tau^prime
Aqui, r é o ponto onde queremos calcular o potencial, e r’ é o ponto das cargas.

Passo 7

Para mostrar que essa é uma solução, precisamos aplicar o laplaciano a e verificar se obtemos -ρ/ε₀. Vamos lembrar que o laplaciano de 1/|\mathbf{r} - \mathbf{r}^{\prime}| é:
nabla^2 ( 1|r - r^prime| ) = -4pi de
onde δ é a função delta de Dirac.

Passo 8

Aplicando o laplaciano em :
nabla^2 V(r) = 14 pi epsilon0 integral rho(r^prime) nabla^2 ( 1|r - r^prime| ) d tau^prime
Substituindo o resultado do laplaciano:
nabla^2 V(r) = 14 pi epsilon0 integral rho(r^prime) (-4pi de

Passo 9

Simplificando, temos:
nabla^2 V(r) = -1epsilon0 integral rho(r^prime) de
A propriedade da função delta de Dirac nos permite “avaliar” a função na posição r = r’, então:
nabla^2 V(r) = -rho(r)epsilon0
Que é exatamente a equação de Poisson que obtivemos antes.

Resposta

Assim, mostramos que a solução para a equação de Poisson é realmente o potencial dado por:
V(r) = 14 pi epsilon0 integral rho(r^prime)|r - r^prime| d tau^prime

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