Um disco plano plano de raio R é carregado uniformemene com carga +Q. Calcule (a) V® em um ponto P que passa ao longo do eixo do disco.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um disco plano com raio
carregado uniformemente com uma carga total
. A missão é calcular o potencial elétrico
em um ponto
que está ao longo do eixo desse disco. Vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especialmente sobre distribuição de carga e cálculo de potencial elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar o disco dividido em pequenos anéis concêntricos. Cada anel vai ter uma carga incremental que contribui para o potencial no ponto
. Essa abordagem facilita o cálculo, porque é mais simples somar as contribuições de cada anel do que lidar com todo o disco de uma vez.
Passo 3
Vamos determinar a carga de um anel fininho. Se o disco tem carga total
distribuída uniformemente, a densidade superficial de carga
é:
Um anel com raio
e espessura
tem uma área de
. Assim, a carga
desse anel é:
Passo 4
Agora, o potencial elétrico
no ponto
devido ao anel é dado por:
Aqui,
é a distância do centro do disco até o ponto
ao longo do eixo.
Passo 5
Substituindo
na expressão de
, temos:
Simplificando:
Passo 6
Para encontrar o potencial total
, integramos
de
até
:
Passo 7
A integral
pode ser resolvida por substituição. Vamos fazer
, então
e
.
Assim, a integral se torna:
Passo 8
Aplicando os limites de integração:
Como
é uma distância, consideramos
, então:
Resposta
O potencial elétrico no ponto
ao longo do eixo do disco é: