Um disco plano plano de raio R é carregado uniformemene com carga +Q. Calcule (a) V® em um ponto P que passa ao longo do eixo do disco.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um disco plano com raio carregado uniformemente com uma carga total . A missão é calcular o potencial elétrico em um ponto que está ao longo do eixo desse disco. Vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especialmente sobre distribuição de carga e cálculo de potencial elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar o disco dividido em pequenos anéis concêntricos. Cada anel vai ter uma carga incremental que contribui para o potencial no ponto . Essa abordagem facilita o cálculo, porque é mais simples somar as contribuições de cada anel do que lidar com todo o disco de uma vez.

Passo 3

Vamos determinar a carga de um anel fininho. Se o disco tem carga total sigma = Qpi R^2 distribuída uniformemente, a densidade superficial de carga dq = sigma cdot 2pi rho drho = Qpi R^2 cdot 2pi rho drho = 2QR^2 rho drho é:
Um anel com raio e espessura tem uma área de . Assim, a carga desse anel é:

Passo 4

Agora, o potencial elétrico dV = 14pi varepsilon0 cdot dqraizrho^2 + z^2 no ponto devido ao anel é dado por:
Aqui, é a distância do centro do disco até o ponto ao longo do eixo.

Passo 5

Substituindo dV = 14pi varepsilon0 cdot 2QR^2 rho drhoraizrho^2 + z^2 = 2Q4pi varepsilon0 R^2 cdot rho drhoraizrho^2 + z^2 na expressão de dV = Q2pi varepsilon0 R^2 cdot rho drhoraizrho^2 + z^2 , temos:
Simplificando:

Passo 6

Para encontrar o potencial total V(z) = integral0^R Q2pi varepsilon0 R^2 cdot rho drhoraizrho^2 + z^2 , integramos de até :

Passo 7

A integral integral rho drhoraizrho^2 + z^2 = integral du/2raizu = 12 integral u^-1/2 du = 12 cdot 2u^1/2 = raizu = raizrho^2 + z^2 pode ser resolvida por substituição. Vamos fazer , então e .
Assim, a integral se torna:

Passo 8

Aplicando os limites de integração:
V(z) = Q2pi varepsilon0 R^2 [ raizR^2 + z^2 - raiz0 + z^2 ] = Q2pi varepsilon0 R^2 ( raizR^2 + z^2 - |z| )
Como V(z) = Q2pi varepsilon0 R^2 ( raizR^2 + z^2 - z ) é uma distância, consideramos , então:

Resposta

O potencial elétrico no ponto V(z) = Q2pi varepsilon0 R^2 ( raizR^2 + z^2 - z ) ao longo do eixo do disco é:

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