A partir do raciocínio desenvolvido em sala de aula, demonstre que a pressão no interior de um fluido incompressível, de densidade
, a uma altitude
em relação à superfície livre é dada por
onde
é a pressão atmosférica.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos demonstrar que a pressão dentro de um fluido incompressível, com densidade
, a uma altura
acima da superfície livre, é dada por
onde
é a pressão atmosférica. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estática de fluidos, especificamente como a pressão varia com a altura em um fluido em equilíbrio.
Passo 2
Vamos imaginar um pequeno pedaço do fluido com área
e uma altura muito pequena
localizada a uma altura
acima da superfície livre. Nesse ponto, a pressão é
.
Passo 3
Neste elemento de fluido, há duas forças principais atuando: a força para baixo devido à pressão na parte superior e a força para cima devido à pressão na parte inferior. Além disso, a gravidade está puxando o fluido para baixo, resultando em uma força gravitacional.
Passo 4
A força exercida pela pressão na parte superior é
, e a força exercida pela pressão na parte inferior é
. A força gravitacional que age para baixo é dada por
, onde
é a aceleração da gravidade.
Passo 5
Em equilíbrio, a soma das forças deve ser zero. Então, podemos escrever:
Passo 6
Dividindo toda a equação por
e rearranjando os termos, temos:
Passo 7
Dividindo ambos os lados por
e tomando o limite quando
tende a zero, obtemos a derivada da pressão em relação à altura:
Passo 8
Para encontrar a pressão
em função de
, integramos a equação diferencial:
onde
é a constante de integração.
Passo 9
Sabemos que na superfície livre, onde
, a pressão é igual à pressão atmosférica
. Substituindo esses valores, encontramos:
Passo 10
Substituindo
na expressão para
, temos:
Resposta
A pressão no interior do fluido a uma altura
em relação à superfície livre é dada por