A partir do raciocínio desenvolvido em sala de aula, demonstre que a pressão no interior de um fluido incompressível, de densidade
, a uma altitude
em relação à superfície livre é dada por
onde
é a pressão atmosférica.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos demonstrar que a pressão dentro de um fluido incompressível, com densidade
, a uma altura
acima da superfície livre, é dada por
onde
é a pressão atmosférica. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estática de fluidos, especificamente como a pressão varia com a altura em um fluido em equilíbrio.
Passo 2
Vamos imaginar um pequeno pedaço do fluido com área
e uma altura muito pequena
localizada a uma altura
acima da superfície livre. Nesse ponto, a pressão é
.
Passo 3
Neste elemento de fluido, há duas forças principais atuando: a força para baixo devido à pressão na parte superior e a força para cima devido à pressão na parte inferior. Além disso, a gravidade está puxando o fluido para baixo, resultando em uma força gravitacional.
Passo 4
A força exercida pela pressão na parte superior é
, e a força exercida pela pressão na parte inferior é
. A força gravitacional que age para baixo é dada por
, onde
é a aceleração da gravidade.
Passo 5
Em equilíbrio, a soma das forças deve ser zero. Então, podemos escrever:
Passo 6
Dividindo toda a equação por
e rearranjando os termos, temos:
Passo 7
Dividindo ambos os lados por
e tomando o limite quando
tende a zero, obtemos a derivada da pressão em relação à altura:
Passo 8
Para encontrar a pressão
em função de
, integramos a equação diferencial:
onde
é a constante de integração.
Passo 9
Sabemos que na superfície livre, onde
, a pressão é igual à pressão atmosférica
. Substituindo esses valores, encontramos:
Passo 10
Substituindo
na expressão para
, temos:
Resposta
A pressão no interior do fluido a uma altura
em relação à superfície livre é dada por
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Converta as unidades das grandezas abaixo para aquelas correspondentes no sistema internacional (MKSA):
- Volume:
(a)
(b) 11 ;
©l;
OBS: - Densidade:
(d); - Pressão:
(e)
(f) 10 atm ;
(g) 100 milibar;
sendo
em uma das extremidades da corda,
está em metros e
está em segundos. Qual é (a) o comprimento da corda, (b) a velocidade das ondas na corda e © a massa da corda? (d) Se a corda oscila no terceiro harmônico de uma onda estacionária, qual é o período de oscilação?
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. A que distância do jogador estão (a) o espectador A?
Três cargas puntiformes estão apoiadas sobre o eixo x ;
está na origem,
está na posição
e
está em uma posição x arbitrária
. a) Obtenha a expressão para a força resultante sobre
devido a
e
na região
. b) Determine a força resultante sobre
devido a
e
se
,
e
.