A partir do raciocínio desenvolvido em sala de aula, demonstre que a pressão no interior de um fluido incompressível, de densidade rho, a uma altitude H em relação à superfície livre é dada por
p=p0-rho g H
onde p0 é a pressão atmosférica.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos demonstrar que a pressão dentro de um fluido incompressível, com densidade rho, a uma altura H acima da superfície livre, é dada por
p = p0 - rho g H
onde p0 é a pressão atmosférica. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estática de fluidos, especificamente como a pressão varia com a altura em um fluido em equilíbrio.

Passo 2

Vamos imaginar um pequeno pedaço do fluido com área A e uma altura muito pequena dh localizada a uma altura h acima da superfície livre. Nesse ponto, a pressão é p(h).

Passo 3

Neste elemento de fluido, há duas forças principais atuando: a força para baixo devido à pressão na parte superior e a força para cima devido à pressão na parte inferior. Além disso, a gravidade está puxando o fluido para baixo, resultando em uma força gravitacional.

Passo 4

A força exercida pela pressão na parte superior é p(h) cdot A, e a força exercida pela pressão na parte inferior é p(h + dh) cdot A. A força gravitacional que age para baixo é dada por rho g A dh, onde g é a aceleração da gravidade.

Passo 5

Em equilíbrio, a soma das forças deve ser zero. Então, podemos escrever:
p(h) cdot A - p(h + dh) cdot A - rho g A dh = 0

Passo 6

Dividindo toda a equação por A e rearranjando os termos, temos:
p(h + dh) - p(h) = -rho g dh

Passo 7

Dividindo ambos os lados por dh e tomando o limite quando dh tende a zero, obtemos a derivada da pressão em relação à altura:
dpdh = -rho g

Passo 8

Para encontrar a pressão p em função de h, integramos a equação diferencial:
p = -rho g h + C
onde C é a constante de integração.

Passo 9

Sabemos que na superfície livre, onde h = 0, a pressão é igual à pressão atmosférica p0. Substituindo esses valores, encontramos:
p0 = -rho g cdot 0 + C Rightarrow C = p0

Passo 10

Substituindo C na expressão para p, temos:
p = p0 - rho g h

Resposta

A pressão no interior do fluido a uma altura H em relação à superfície livre é dada por
p = p0 - rho g H

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