A partir do raciocínio desenvolvido em sala de aula, demonstre que a pressão no interior de um fluido incompressível, de densidade , a uma altitude em relação à superfície livre é dada por
onde é a pressão atmosférica.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos demonstrar que a pressão dentro de um fluido incompressível, com densidade , a uma altura acima da superfície livre, é dada por
onde é a pressão atmosférica. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estática de fluidos, especificamente como a pressão varia com a altura em um fluido em equilíbrio.

Passo 2

Vamos imaginar um pequeno pedaço do fluido com área e uma altura muito pequena localizada a uma altura acima da superfície livre. Nesse ponto, a pressão é .

Passo 3

Neste elemento de fluido, há duas forças principais atuando: a força para baixo devido à pressão na parte superior e a força para cima devido à pressão na parte inferior. Além disso, a gravidade está puxando o fluido para baixo, resultando em uma força gravitacional.

Passo 4

A força exercida pela pressão na parte superior é , e a força exercida pela pressão na parte inferior é . A força gravitacional que age para baixo é dada por , onde é a aceleração da gravidade.

Passo 5

Em equilíbrio, a soma das forças deve ser zero. Então, podemos escrever:

Passo 6

Dividindo toda a equação por e rearranjando os termos, temos:

Passo 7

Dividindo ambos os lados por e tomando o limite quando tende a zero, obtemos a derivada da pressão em relação à altura:

Passo 8

Para encontrar a pressão em função de , integramos a equação diferencial:
onde é a constante de integração.

Passo 9

Sabemos que na superfície livre, onde , a pressão é igual à pressão atmosférica . Substituindo esses valores, encontramos:

Passo 10

Substituindo na expressão para , temos:

Resposta

A pressão no interior do fluido a uma altura em relação à superfície livre é dada por

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Converta as unidades das grandezas abaixo para aquelas correspondentes no sistema internacional (MKSA):
  • Volume:
    (a)
    (b) 11 ;
    © l;
    OBS:
  • Densidade:
    (d) ;
  • Pressão:
    (e)
    (f) 10 atm ;
    (g) 100 milibar;
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