As pás de um ventilador giram em torno de seu eixo com frequência de 120 rpm . Determine para dois de uma das pás , situados respectivamente a 15 cm e 10 cm do centro :a) A frequência em hertz e o período em radianos
b) A velocidade angular em radianos por segundo 
c) a velocidade escalar linear em metros por segundo

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre as pás de um ventilador que giram com uma certa frequência. Vamos usar conceitos de Movimento Rotacional, como frequência, período, velocidade angular e velocidade escalar linear. Precisamos calcular esses valores para duas pás que estão a 15 cm e 10 cm do centro do ventilador.

Passo 2

Parte a) Frequência em hertz e período em radianos
Primeiro, vamos entender a diferença entre frequência e período.
  • Frequência (f): É o número de rotações completas por segundo.
  • Período (T): É o tempo que leva para completar uma rotação.
A frequência está inicialmente dada em rpm (rotações por minuto), então vamos converter para hertz (Hz), que é rotações por segundo.
f (Hz) = rpm60
Dado que a frequência é 120 rpm:
f = 12060 = 2 , Hz
Agora, para encontrar o período. Como a frequência é o inverso do período:
T = 1f = 12 = 0,5 , segundos
Mas a questão pede o período em radianos. Como uma rotação completa corresponde a 2pi radianos:
theta = 2pi , radianos
Então, o período em radianos é 2pi radianos.

Passo 3

Parte b) Velocidade angular em radianos por segundo
A velocidade angular ( omega) relaciona-se com a frequência através da fórmula:
omega = 2pi f
Já sabemos que f = 2 , Hz, então:
omega = 2pi times 2 = 4pi , rad/s

Passo 4

Parte c) Velocidade escalar linear em metros por segundo
A velocidade escalar linear ( v) está relacionada à velocidade angular e ao raio ( r) da trajetória pela fórmula:
v = omega r
Primeiro, vamos converter as distâncias de centímetros para metros:
  • 15 cm = 0,15 m
  • 10 cm = 0,10 m
Usando omega = 4pi , rad/s:
Para a pá a 15 cm:
v = 4pi times 0,15 = 0,6pi approx 1,884 , m/s
Para a pá a 10 cm:
v = 4pi times 0,10 = 0,4pi approx 1,257 , m/s

Resposta

a) Frequência e Período
  • Frequência: 2 , Hz
  • Período: 2pi , radianos
b) Velocidade Angular
  • omega = 4pi , rad/s
c) Velocidade Escalar Linear
  • Para a pá a 15 cm: v approx 1,884 , m/s
  • Para a pá a 10 cm: v approx 1,257 , m/s

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