Depois de passar por um processo de racionalização de produção, a empresa de tênis Naiki ficou com a disponibilidade de apenas 3 dos seguintes recursos produtivos:
- R1: Borracha para solado;
- R2: Tecido para forro e
- R3: Fibra para produção de cadarços.
Assim, dadas as mudanças, a empresa irá fabricar e vender os modelos de tênis N1 (Naiki classic) e N2 (Naiki casual). Levantando os custos e consultando o departamento de vendas sobre o preço de colocação no mercado, certificouse que o tênis N1 daria um lucro de
por unidade e o tênis
por unidade. Cada item do tênis N1 produzido consome 2 unidades do recurso R1, 3 unidades do recurso R2 e 5 unidades do recurso R3. Para cada tênis N2 são consumidas 4 unidades do recurso R1, 2 unidades do recurso R2 e 3 unidades do recurso R3. A quantidade de recursos R1, R2 e R3 disponíveis são
de 100, 90 e 120 unidades, respectivamente. Que produção mensal dos modelos de tênis N1 e N2 traz o maior lucro para a empresa? Defina a formulação matemática do problema e resolva-o graficamente.
Assim, dadas as mudanças, a empresa irá fabricar e vender os modelos de tênis N1 (Naiki classic) e N2 (Naiki casual). Levantando os custos e consultando o departamento de vendas sobre o preço de colocação no mercado, certificouse que o tênis N1 daria um lucro de
de 100, 90 e 120 unidades, respectivamente. Que produção mensal dos modelos de tênis N1 e N2 traz o maior lucro para a empresa? Defina a formulação matemática do problema e resolva-o graficamente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre otimização da produção de tênis na empresa Naiki. O objetivo é descobrir quantos modelos de tênis N1 e N2 a empresa deve fabricar por mês para maximizar o lucro, levando em conta as limitações de recursos (R1, R2 e R3). Para resolver isso, vamos usar conceitos de programação linear, que nos ajuda a encontrar a melhor combinação de recursos para maximizar ou minimizar algo, no caso, o lucro.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis que vamos usar:
-
: número de unidades do tênis N1 que serão produzidas por mês. -
: número de unidades do tênis N2 que serão produzidas por mês.
Nosso objetivo é maximizar o lucro total. Sabemos que cada N1 dá um lucro de R$120,00 e cada N2 dá um lucro de R$150,00. Então, a função objetivo fica:
Passo 3
Agora, precisamos considerar as restrições de recursos. Cada tênis consome recursos R1, R2 e R3 de forma diferente:
- Para R1 (Borracha para solado):
- Cada N1 consome 2 unidades.
- Cada N2 consome 4 unidades.
- Disponibilidade total: 100 unidades.
- Para R2 (Tecido para forro):
- Cada N1 consome 3 unidades.
- Cada N2 consome 2 unidades.
- Disponibilidade total: 90 unidades.
- Para R3 (Fibra para cadarços):
- Cada N1 consome 5 unidades.
- Cada N2 consome 3 unidades.
- Disponibilidade total: 120 unidades.
Além disso, não podemos produzir uma quantidade negativa de tênis, então:
Passo 4
Vamos resolver graficamente:
-
Plotar as restrições:
- Para cada inequação, igualamos a expressão a zero e desenhamos a linha correspondente.
-
Encontrar os pontos de interseção das restrições:
- Resolvemos pares de equações para descobrir onde elas se cruzam.
-
Identificar a região viável:
- É a área onde todas as inequações são satisfeitas simultaneamente.
-
Avaliar a função objetivo nos vértices da região viável:
- O lucro máximo estará em um desses pontos.
Vamos calcular os pontos de interseção:
-
Entre
e : Resolvendo o sistema:Multiplicamos a segunda equação por 2:Subtraindo a primeira equação:Substituindona segunda equação original: Ponto de interseção: (20, 15) -
Entre
e : Resolvendo o sistema:Multiplicamos a primeira equação por 5 e a segunda por 2:Subtraindo as equações:Substituindona primeira equação: Ponto de interseção: (12,86, 18,57) -
Entre
e : Resolvendo o sistema:Multiplicamos a primeira equação por 3 e a segunda por 2:Subtraindo as equações:Comonão pode ser negativo, esse ponto não faz parte da região viável.
Então, os vértices da região viável são:
- (0, 0)
- (0, 25) [Interseção com eixo Y das restrições]
- (20, 15)
- (12, 18,57)
Passo 5
Vamos calcular o lucro
em cada um desses pontos:
- Ponto (0, 0):
- Ponto (0, 25):
- Ponto (20, 15):
- Ponto (12,86, 18,57):
Resposta
O maior lucro de R$4.650,00 é alcançado produzindo 20 unidades de N1 e 15 unidades de N2 por mês.