Depois de passar por um processo de racionalização de produção, a empresa de tênis Naiki ficou com a disponibilidade de apenas 3 dos seguintes recursos produtivos:
  • R1: Borracha para solado;
  • R2: Tecido para forro e
  • R3: Fibra para produção de cadarços.
    Assim, dadas as mudanças, a empresa irá fabricar e vender os modelos de tênis N1 (Naiki classic) e N2 (Naiki casual). Levantando os custos e consultando o departamento de vendas sobre o preço de colocação no mercado, certificouse que o tênis N1 daria um lucro de R por unidade e o tênis por unidade e o tênis por unidade. Cada item do tênis N1 produzido consome 2 unidades do recurso R1, 3 unidades do recurso R2 e 5 unidades do recurso R3. Para cada tênis N2 são consumidas 4 unidades do recurso R1, 2 unidades do recurso R2 e 3 unidades do recurso R3. A quantidade de recursos R1, R2 e R3 disponíveis são
    de 100, 90 e 120 unidades, respectivamente. Que produção mensal dos modelos de tênis N1 e N2 traz o maior lucro para a empresa? Defina a formulação matemática do problema e resolva-o graficamente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre otimização da produção de tênis na empresa Naiki. O objetivo é descobrir quantos modelos de tênis N1 e N2 a empresa deve fabricar por mês para maximizar o lucro, levando em conta as limitações de recursos (R1, R2 e R3). Para resolver isso, vamos usar conceitos de programação linear, que nos ajuda a encontrar a melhor combinação de recursos para maximizar ou minimizar algo, no caso, o lucro.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis que vamos usar:
  • 120,00 e cada N2 dá um lucro de R: número de unidades do tênis N1 que serão produzidas por mês.
  • Maximizar Z = 120x + 150y : número de unidades do tênis N2 que serão produzidas por mês.
Nosso objetivo é maximizar o lucro total. Sabemos que cada N1 dá um lucro de R$120,00 e cada N2 dá um lucro de R$150,00. Então, a função objetivo fica:

Passo 3

Agora, precisamos considerar as restrições de recursos. Cada tênis consome recursos R1, R2 e R3 de forma diferente:
  • Para R1 (Borracha para solado):
    • Cada N1 consome 2 unidades.
    • Cada N2 consome 4 unidades.
    • Disponibilidade total: 100 unidades.
2x + 4y <= 100
  • Para R2 (Tecido para forro):
    • Cada N1 consome 3 unidades.
    • Cada N2 consome 2 unidades.
    • Disponibilidade total: 90 unidades.
3x + 2y <= 90
  • Para R3 (Fibra para cadarços):
    • Cada N1 consome 5 unidades.
    • Cada N2 consome 3 unidades.
    • Disponibilidade total: 120 unidades.
5x + 3y <= 120
Além disso, não podemos produzir uma quantidade negativa de tênis, então:
x >= 0 y >= 0

Passo 4

Vamos resolver graficamente:
  1. Plotar as restrições:
    • Para cada inequação, igualamos a expressão a zero e desenhamos a linha correspondente.
  2. Encontrar os pontos de interseção das restrições:
    • Resolvemos pares de equações para descobrir onde elas se cruzam.
  3. Identificar a região viável:
    • É a área onde todas as inequações são satisfeitas simultaneamente.
  4. Avaliar a função objetivo nos vértices da região viável:
    • O lucro máximo estará em um desses pontos.
Vamos calcular os pontos de interseção:
  • Entre 2x + 4y = 100 3x + 2y = 90 e 6x + 4y = 180 :
    Resolvendo o sistema:
    4x = 80 Rightarrow x = 20
    Multiplicamos a segunda equação por 2:
    3(20) + 2y = 90 Rightarrow 60 + 2y = 90 Rightarrow 2y = 30 Rightarrow y = 15
    Subtraindo a primeira equação:
    2x + 4y = 100 5x + 3y = 120
    Substituindo 10x + 20y = 500 10x + 6y = 240 na segunda equação original:
    14y = 260 Rightarrow y = 26014 approx 18,57
    Ponto de interseção: (20, 15)
  • Entre 2x + 4(18,57) = 100 Rightarrow 2x + 74,28 = 100 Rightarrow 2x = 25,72 Rightarrow x approx 12,86 e 3x + 2y = 90 5x + 3y = 120 :
    Resolvendo o sistema:
    9x + 6y = 270 10x + 6y = 240
    Multiplicamos a primeira equação por 5 e a segunda por 2:
    -x = 30 Rightarrow x = -30
    Subtraindo as equações:
    Substituindo na primeira equação:
    Ponto de interseção: (12,86, 18,57)
  • Entre e :
    Resolvendo o sistema:
    Multiplicamos a primeira equação por 3 e a segunda por 2:
    Subtraindo as equações:
    Como não pode ser negativo, esse ponto não faz parte da região viável.
Então, os vértices da região viável são:
  • (0, 0)
  • (0, 25) [Interseção com eixo Y das restrições]
  • (20, 15)
  • (12, 18,57)

Passo 5

Vamos calcular o lucro Z = 120(0) + 150(0) = 0 em cada um desses pontos:
  1. Ponto (0, 0):
Z = 120(0) + 150(25) = 3750
  1. Ponto (0, 25):
Z = 120(20) + 150(15) = 2400 + 2250 = 4650
  1. Ponto (20, 15):
Z = 120(12,86) + 150(18,57) approx 1543,20 + 2785,50 = 4328,70
  1. Ponto (12,86, 18,57):

Resposta

O maior lucro de R$4.650,00 é alcançado produzindo 20 unidades de N1 e 15 unidades de N2 por mês.

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