Passeio Turístico: Em determinados pontos turísticos pessoas são transportadas de um monte a outro através bondes pendurados em cabos de aço. Considere um bonde de massa igual a
que é sustentado por dois cabos de aço, ambos de comprimento
e diâmetro igual a 3 cm . Sabendo que cada cabo pode sofrer um alongamento máximo de
de seu comprimento inicial, sem se romper; e que os dois montes têm a mesma altura, qual deve ser a quantidade máxima de pessoas transportadas no bonde? Faça uma análise da situação considerando o bonde no ponto médio dos cabos, que cada segmento de cada cabo forma um ângulo de
com uma linha horizontal que liga os dois montes e que cada pessoa possui uma massa de 70 kg . O módulo de elasticidade de Young do aço é
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um bonde que é sustentado por dois cabos de aço e queremos descobrir quantas pessoas a mais ele pode transportar sem que os cabos se rompam. Vamos usar conceitos de estática e mecânica dos materiais, especialmente o módulo de elasticidade de Young. Precisaremos calcular a tensão máxima que os cabos aguentam e relacionar isso com o peso adicional que as pessoas trazem.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual é a tensão máxima que cada cabo pode suportar antes de se alongar além do limite. Sabemos que cada cabo tem um diâmetro de 3 cm, então o raio é 1,5 cm = 0,015 m. A área da seção transversal
de cada cabo é dada por:
Passo 3
O módulo de elasticidade de Young (
) é
e o alongamento máximo permitido é
do comprimento inicial
, ou seja,
. A relação entre tensão (
), módulo de Young e deformação (
) é:
Aqui,
, então:
Passo 4
A tensão máxima que cada cabo pode suportar sem se romper é igual à tensão calculada multiplicada pela área da seção:
Isso significa que cada cabo pode suportar até aproximadamente 14.140 N antes de atingir o limite de alongamento.
Passo 5
Como temos dois cabos, a força máxima total que eles podem suportar é:
Passo 6
Agora, vamos considerar as forças envolvidas. O bonde de massa
tem um peso:
Se adicionarmos
pessoas, cada uma com massa de 70 kg, o peso total será:
Passo 7
No ponto médio, cada cabo faz um ângulo de
com a horizontal. A força total
está distribuída entre os dois cabos, então a componente vertical da força de cada cabo deve equilibrar o peso total. A componente vertical de cada cabo é:
Como há dois cabos:
Sabendo que
:
Portanto:
Passo 8
Agora, igualamos a força vertical total ao peso total:
Substituindo
:
Dividindo ambos os lados por 9,8:
Subtraindo 2000:
Dividindo por 70:
Resposta
A quantidade máxima de pessoas que podem ser transportadas no bonde sem que os cabos se rompam é de 12 pessoas.
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