Passeio Turístico: Em determinados pontos turísticos pessoas são transportadas de um monte a outro através bondes pendurados em cabos de aço. Considere um bonde de massa igual a 2 times 10^3 kg que é sustentado por dois cabos de aço, ambos de comprimento (L) e diâmetro igual a 3 cm . Sabendo que cada cabo pode sofrer um alongamento máximo de 0,1 % de seu comprimento inicial, sem se romper; e que os dois montes têm a mesma altura, qual deve ser a quantidade máxima de pessoas transportadas no bonde? Faça uma análise da situação considerando o bonde no ponto médio dos cabos, que cada segmento de cada cabo forma um ângulo de 30^circ com uma linha horizontal que liga os dois montes e que cada pessoa possui uma massa de 70 kg . O módulo de elasticidade de Young do aço é 2 times 10^10 N / m^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um bonde que é sustentado por dois cabos de aço e queremos descobrir quantas pessoas a mais ele pode transportar sem que os cabos se rompam. Vamos usar conceitos de estática e mecânica dos materiais, especialmente o módulo de elasticidade de Young. Precisaremos calcular a tensão máxima que os cabos aguentam e relacionar isso com o peso adicional que as pessoas trazem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual é a tensão máxima que cada cabo pode suportar antes de se alongar além do limite. Sabemos que cada cabo tem um diâmetro de 3 cm, então o raio é 1,5 cm = 0,015 m. A área da seção transversal A = pi r^2 = pi (0,015)^2 approx 7,07 times 10^-4 , m^2 de cada cabo é dada por:

Passo 3

O módulo de elasticidade de Young ( sigma = E times epsilon ) é sigma = 2 times 10^10 times 0,001 = 2 times 10^7 , N/m^2 e o alongamento máximo permitido é do comprimento inicial , ou seja, . A relação entre tensão ( ), módulo de Young e deformação ( ) é:
Aqui, , então:

Passo 4

A tensão máxima que cada cabo pode suportar sem se romper é igual à tensão calculada multiplicada pela área da seção:
Fmáx = sigma times A = 2 times 10^7 times 7,07 times 10^-4 approx 1,414 times 10^4 , N á
Isso significa que cada cabo pode suportar até aproximadamente 14.140 N antes de atingir o limite de alongamento.

Passo 5

Como temos dois cabos, a força máxima total que eles podem suportar é:
Ftotal = 2 times Fmáx = 2 times 1,414 times 10^4 approx 2,828 times 10^4 , N á

Passo 6

Agora, vamos considerar as forças envolvidas. O bonde de massa Pbonde = mbonde times g = 2 times 10^3 times 9,8 approx 1,96 times 10^4 , N tem um peso:
Ptotal = (2 times 10^3 + 70n) times 9,8
Se adicionarmos pessoas, cada uma com massa de 70 kg, o peso total será:

Passo 7

No ponto médio, cada cabo faz um ângulo de Fvertical = F times sin(30^circ) com a horizontal. A força total 2 times F times sin(30^circ) = Ptotal está distribuída entre os dois cabos, então a componente vertical da força de cada cabo deve equilibrar o peso total. A componente vertical de cada cabo é:
2 times F times 0,5 = Ftotal
Como há dois cabos:
F = Ftotal2 = 2,828 times 10^42 = 1,414 times 10^4 , N
Sabendo que :
Portanto:

Passo 8

Agora, igualamos a força vertical total ao peso total:
Ftotal = (2 times 10^3 + 70n) times 9,8
Substituindo 2,828 times 10^4 = (2 times 10^3 + 70n) times 9,8 :
2,828 times 10^49,8 = 2 times 10^3 + 70n
Dividindo ambos os lados por 9,8:
2885,71 approx 2000 + 70n
885,71 = 70n
Subtraindo 2000:
n approx 12,65
Dividindo por 70:

Resposta

A quantidade máxima de pessoas que podem ser transportadas no bonde sem que os cabos se rompam é de 12 pessoas.

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