O patrocinador de um programa especial de TV supõe que pelo menos 40 % de todos os telespectadores de um determinado setor metropolitano veriam tal programa. De uma amostra aleatória de 100 familias, com televisores ligados, somente 30 assistem o programa. Com base nesta amostra pode-se rejeitar a suposição do patrocinador de que pelo menos 40 % das familias estāo vendo o especial a um nivel de significância de:
a) alpha=1 % ?
b) alpha=5 % ?

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado está dizendo. O patrocinador do programa de TV acredita que pelo menos 40% das famílias de um setor metropolitano assistem ao programa. Para testar essa ideia, foi feita uma amostra aleatória de 100 famílias com TVs ligadas, e apenas 30 delas assistiram ao programa. Vamos usar Teste de Proporção para verificar se podemos rejeitar a suposição do patrocinador nos níveis de significância de alpha=1% e alpha=5%.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as hipóteses que vamos testar:
  • Hipótese Nula ( H0): A proporção das famílias que assistem ao programa é pelo menos 40%, ou seja, p >= 0.40.
  • Hipótese Alternativa ( Ha): A proporção das famílias que assistem ao programa é menor que 40%, ou seja, p < 0.40.

Passo 3

Vamos calcular a proporção observada na amostra. Foram 30 famílias que assistiram ao programa de um total de 100:
p = 30100 = 0.30

Passo 4

Agora, vamos calcular o erro padrão da proporção, que nos ajuda a entender a variação esperada da amostra:
Erro Padrão = raizp0 (1 - p0)n = raiz0.40 times 0.60100 = raiz0.24100 = raiz0.0024 approx 0.049 ã
Onde p0 = 0.40 é a proporção segundo a hipótese nula e n = 100 é o tamanho da amostra.

Passo 5

Vamos calcular o valor z, que nos indica quantos erros padrões a nossa proporção observada está da proporção hipotética:
z = p - p0Erro Padrão = 0.30 - 0.400.049 approx -0.100.049 approx -2.04 ã

Passo 6

Agora, vamos encontrar o valor crítico z para os níveis de significância alpha=1% e alpha=5%. Como a hipótese alternativa é unilateral (menor que), procuramos o valor z que deixa alpha na cauda esquerda da distribuição normal.
  • Para alpha=5%: O valor crítico z é aproximadamente -1.645.
  • Para alpha=1%: O valor crítico z é aproximadamente -2.326.

Passo 7

Vamos comparar o nosso valor z calculado com os valores críticos:
  • Para alpha=5%: -2.04 é menor que -1.645, então rejeitamos a hipótese nula.
  • Para alpha=1%: -2.04 não é menor que -2.326, então não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

a) Com alpha=1%, não se rejeita a suposição do patrocinador.
b) Com alpha=5%, rejeita-se a suposição do patrocinador de que pelo menos 40% das famílias assistem ao programa.

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