O patrocinador de um programa especial de TV supõe que pelo menos
de todos os telespectadores de um determinado setor metropolitano veriam tal programa. De uma amostra aleatória de 100 familias, com televisores ligados, somente 30 assistem o programa. Com base nesta amostra pode-se rejeitar a suposição do patrocinador de que pelo menos
das familias estāo vendo o especial a um nivel de significância de:
a)
?
b)
?
a)
b)
Passo 1
Vamos entender o que o enunciado está dizendo. O patrocinador do programa de TV acredita que pelo menos 40% das famílias de um setor metropolitano assistem ao programa. Para testar essa ideia, foi feita uma amostra aleatória de 100 famílias com TVs ligadas, e apenas 30 delas assistiram ao programa. Vamos usar Teste de Proporção para verificar se podemos rejeitar a suposição do patrocinador nos níveis de significância de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as hipóteses que vamos testar:
- Hipótese Nula (
): A proporção das famílias que assistem ao programa é pelo menos 40%, ou seja, . - Hipótese Alternativa (
): A proporção das famílias que assistem ao programa é menor que 40%, ou seja, .
Passo 3
Vamos calcular a proporção observada na amostra. Foram 30 famílias que assistiram ao programa de um total de 100:
Passo 4
Agora, vamos calcular o erro padrão da proporção, que nos ajuda a entender a variação esperada da amostra:
Onde
é a proporção segundo a hipótese nula e
é o tamanho da amostra.
Passo 5
Vamos calcular o valor z, que nos indica quantos erros padrões a nossa proporção observada está da proporção hipotética:
Passo 6
Agora, vamos encontrar o valor crítico z para os níveis de significância
e
. Como a hipótese alternativa é unilateral (menor que), procuramos o valor z que deixa
na cauda esquerda da distribuição normal.
- Para
: O valor crítico z é aproximadamente . - Para
: O valor crítico z é aproximadamente .
Passo 7
Vamos comparar o nosso valor z calculado com os valores críticos:
- Para
: é menor que , então rejeitamos a hipótese nula. - Para
: não é menor que , então não rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
a) Com
, não se rejeita a suposição do patrocinador.
b) Com
, rejeita-se a suposição do patrocinador de que pelo menos
das famílias assistem ao programa.