Visando diminuir as devoluções, um diretor da Receita Federal sugere uma nova tabela para o imposto de renda retido na fonte e afirma que, com esta mudança, quando todas as restituições forem completadas, o pagamento médio será de U$ 100,00 por restituição. Uma amostra aleatória de 64 restituições revelou um pagamento médio de U$ 118,00 com desvio padrão de U$ 50,00 . Testando com 100,00 por restituição Uma amostra a<=atória de 64 restituições revelou um pagamento médio de U de significância, os dados amostrais confirmam a afirmaçāo do diretor?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Um diretor da Receita Federal propôs uma nova tabela para o imposto de renda retido na fonte, afirmando que, após as mudanças, o pagamento médio por restituição será de U$ 100,00. Queremos verificar se essa afirmação é verdadeira com base em uma amostra. Para isso, vamos utilizar teste de hipóteses da estatística, focando em média populacional. Precisaremos dos seguintes dados:
  • Média amostral ( 100,00 Queremos verificar se essa afirmação é verdadeira com base em uma amostra Para isso, vamos utilizar **teste de hipóteses** da estatística, focando em **média populacional** Precisaremos dos seguintes dados: - Média amostral ((barx)) = U) = U$ 118,00
  • Desvio padrão amostral ( ) = U$ 50,00
  • Tamanho da amostra ( ) = 64
  • Nível de significância ( ) = 1%

Passo 2

Vamos estabelecer as hipóteses para o teste:
  • Hipótese nula ( 100,00 (mu = 100) - **Hipótese a): A média populacional é U$ 100,00.
  • Hipótese alternativa ( ): A média populacional não é U$ 100,00.
Esse é um teste bilateral, pois queremos verificar se a média é diferente, sem especificar a direção.

Passo 3

Como a amostra é grande ( Z = barx - mu0sraizn ) e o desvio padrão populacional não é conhecido, usamos a distribuição Z para o teste. A fórmula para o cálculo do valor Z é:
Onde:
  • é a média amostral
  • é a média segundo a hipótese nula
  • é o desvio padrão amostral
  • é o tamanho da amostra

Passo 4

Vamos calcular o erro padrão ( Ep = sraizn = 50raiz64 = 508 = 6,25 ):

Passo 5

Agora, calculamos o valor Z:
Z = 118 - 1006,25 = 186,25 = 2,88

Passo 6

Com o nível de significância de 1%, vamos encontrar os pontos críticos na distribuição Z. Para um teste bilateral com Zalpha/2 = Z0,005 = -2,576 e 2,576 , dividimos por 2 para cada lado:

Passo 7

Comparamos o valor Z calculado com os pontos críticos:
  • Se ou , rejeitamos .
  • Caso contrário, não rejeitamos .
No nosso caso, .

Resposta

Como o valor Z calculado (2,88) é maior que o valor crítico (2,576), rejeitamos a hipótese nula . Portanto, com 1% de significância, os dados da amostra não confirmam a afirmação do diretor de que o pagamento médio por restituição será de U$ 100,00.

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