Visando diminuir as devoluções, um diretor da Receita Federal sugere uma nova tabela para o imposto de renda retido na fonte e afirma que, com esta mudança, quando todas as restituições forem completadas, o pagamento médio será de U$ 100,00 por restituição. Uma amostra aleatória de 64 restituições revelou um pagamento médio de U$ 118,00 com desvio padrão de U$ 50,00 . Testando com
de significância, os dados amostrais confirmam a afirmaçāo do diretor?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Um diretor da Receita Federal propôs uma nova tabela para o imposto de renda retido na fonte, afirmando que, após as mudanças, o pagamento médio por restituição será de U$ 100,00. Queremos verificar se essa afirmação é verdadeira com base em uma amostra. Para isso, vamos utilizar teste de hipóteses da estatística, focando em média populacional. Precisaremos dos seguintes dados:
- Média amostral (
) = U$ 118,00 - Desvio padrão amostral (
) = U$ 50,00 - Tamanho da amostra (
) = 64 - Nível de significância (
) = 1%
Passo 2
Vamos estabelecer as hipóteses para o teste:
- Hipótese nula (
): A média populacional é U$ 100,00. - Hipótese alternativa (
): A média populacional não é U$ 100,00.
Esse é um teste bilateral, pois queremos verificar se a média é diferente, sem especificar a direção.
Passo 3
Como a amostra é grande (
) e o desvio padrão populacional não é conhecido, usamos a distribuição Z para o teste. A fórmula para o cálculo do valor Z é:
Onde:
-
é a média amostral -
é a média segundo a hipótese nula -
é o desvio padrão amostral -
é o tamanho da amostra
Passo 4
Vamos calcular o erro padrão (
):
Passo 5
Agora, calculamos o valor Z:
Passo 6
Com o nível de significância de 1%, vamos encontrar os pontos críticos na distribuição Z. Para um teste bilateral com
, dividimos
por 2 para cada lado:
Passo 7
Comparamos o valor Z calculado com os pontos críticos:
- Se
ou , rejeitamos . - Caso contrário, não rejeitamos
.
No nosso caso,
.
Resposta
Como o valor Z calculado (2,88) é maior que o valor crítico (2,576), rejeitamos a hipótese nula
. Portanto, com 1% de significância, os dados da amostra não confirmam a afirmação do diretor de que o pagamento médio por restituição será de U$ 100,00.