Paulo e Pedro, dois amigos, decidiram aplicar mensalmente em um fundo de previdência privada para garantir uma aposentadoria mais confortável. Paulo, inicialmente investirá R$ 80,00 e nos meses seguintes fará aplicações sucessivas de forma que uma aplicação seja sempre R$ 5,00 reais maior que a aplicação imediatamente anterior. Pedro, entretanto, começará com R$ 26,00 e, assim como Paulo, fará aumentos sucessivos, porém esses aumentos serão no valor de R$ 8,00.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que tá acontecendo aqui. Temos dois amigos, Paulo e Pedro, que decidiram investir mensalmente em um fundo de previdência privada para garantir uma aposentadoria mais tranquila. O Paulo começa investindo R$ 80,00 no primeiro mês e, a cada mês que passa, ele aumenta o valor da aplicação em R$ 5,00. Já o Pedro começa com R$ 26,00 no primeiro mês e também aumenta o valor da aplicação todo mês, mas ele aumenta R$ 8,00 a cada vez. Nosso objetivo aqui é descobrir, por exemplo, depois de quantos meses as aplicações do Paulo vão superar as do Pedro.
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre progressões aritméticas, que são sequências de números em que a diferença entre um termo e o anterior é constante. Vamos usar essa ferramenta para calcular os investimentos acumulados de cada um e comparar.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as progressões aritméticas para os investimentos de cada um.
Para o Paulo:
  • O primeiro termo (a₁) é R$ 80,00.
  • A cada mês, ele aumenta R$ 5,00, então a razão ® é 5.
A fórmula para o n-ésimo termo de uma PA é:
80,00 - A cada mês, e<= aumenta R
Para o Pedro:
  • O primeiro termo (a₁) é R$ 26,00.
  • A cada mês, ele aumenta R$ 8,00, então a razão ® é 8.
Usaremos a mesma fórmula para encontrar o n-ésimo termo da PA do Pedro.

Passo 3

Agora, vamos calcular a soma dos investimentos de cada um após n meses. A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por:
Sn = n2 times (2a1 + (n - 1) times r)
Vamos aplicar essa fórmula para o Paulo e para o Pedro.
Para o Paulo:
SPaulo = n2 times (2 times 80 + (n - 1) times 5)
SPaulo = n2 times (160 + 5n - 5)
SPaulo = n2 times (155 + 5n)
SPaulo = n2 times 5(n + 31)
SPaulo = 5n(n + 31)2
Para o Pedro:
SPedro = n2 times (2 times 26 + (n - 1) times 8)
SPedro = n2 times (52 + 8n - 8)
SPedro = n2 times (44 + 8n)
SPedro = n2 times 4(2n + 11)
SPedro = 4n(2n + 11)2
SPedro = 2n(2n + 11)
SPedro = 4n^2 + 22n

Passo 4

Queremos encontrar o ponto em que o investimento do Paulo supera o de Pedro, ou seja, quando $ S_{Paulo} > S_{Pedro} $.
Vamos igualar as duas somas e resolver para n:
SPaulo > SPedro
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar a fração:
5n(n + 31)2 = 4n^2 + 22n
5n(n + 31) = 8n^2 + 44n
Subtraindo 5n^2 + 155n = 8n^2 + 44n de ambos os lados:
5n^2 + 155n
0 = 3n^2 - 111n
Fatorando:
3n^2 - 111n = 0
Então, as soluções são:
3n(n - 37) = 0 ou n = 0
Como n = 0 não faz sentido no contexto, temos que n = 37.

Passo 5

Isso significa que, após 37 meses, os investimentos do Paulo serão iguais aos do Pedro. Mas queremos saber quando o Paulo começa a ter um investimento maior. Então, após 37 meses, os investimentos são iguais, e no próximo mês, o Paulo começará a superar.

Resposta

Após 37 meses, os investimentos do Paulo começarão a superar os de Pedro.

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