Tp+1=binomnp a^n-p cdot b^p
Podemos, então, afirmar que o coeficiente do termo x^3 no desenvolvimento do binômio (x-2x)^9 é:
a) 672 .
b) -672 .
c) 726 .
d) -726 .
e) Não existe coeficiente de x^3 para esse binômio.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o coeficiente do termo no desenvolvimento do binômio . Isso envolve o Teorema do Binômio, que nos ajuda a expandir potências de binômios de forma organizada. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar esse teorema e identificar qual termo corresponde a .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema do Binômio. Ele diz que:
(a + b)^n = sumk=0^n binomnk a^n - k b^k
Onde:
  • é o coeficiente binomial, calculado por
  • e são os dois termos do binômio
  • é o expoente
No nosso caso, , e .

Passo 3

Vamos aplicar o Teorema do Binômio ao nosso problema:
(x - 2x)^9 = sumk=0^9 binom9k x^9 - k (-2x)^k
Agora, simplificamos o termo dentro da soma:
binom9k x^9 - k (-2x)^k = binom9k cdot x^9 - k cdot (-2)^k cdot x^-k = binom9k cdot (-2)^k cdot x^9 - 2k

Passo 4

Queremos encontrar o coeficiente do termo 9 - 2k = 3 . Então, precisamos resolver a equação do expoente:
9 - 2k = 3 -2k = 3 - 9 -2k = -6 k = 3
Resolvendo para :

Passo 5

Agora que sabemos que binom93 cdot (-2)^3 = 84 cdot (-8) = -672 é o valor que nos interessa, vamos calcular o coeficiente correspondente:

Resposta

b) -672.

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