e
é o pedaço da esfera
no primeiro octante orientada pela normal apontando para a origem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial
e uma superfície
, que é a parte da esfera
no primeiro octante. O objetivo é calcular o fluxo desse campo vetorial através dessa superfície
. Para isso, vamos usar o que a gente aprendeu sobre integrais de superfície e o teorema da divergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície
. Ela é a parte da esfera de raio 2 (
) que está no primeiro octante, ou seja, onde
,
e
são todos positivos. A orientação da normal está apontando para a origem, o que significa que estamos olhando do lado de dentro da esfera.
Passo 3
Agora, para calcular o fluxo de
através de
, podemos usar o teorema da divergência. Esse teorema relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a integral da divergência desse campo sobre o volume limitado pela superfície. A fórmula é:
Passo 4
Vamos calcular a divergência de
. A divergência de um vetor
é dada por:
Para
, temos:
Passo 5
Como a divergência é 1, a integral de volume fica simplesmente a medida do volume
limitado pela superfície
. Mas lembre-se, como
é apenas a parte da esfera no primeiro octante, temos que considerar que o volume total da esfera de raio 2 é dividido em 8 octantes iguais.
O volume de uma esfera de raio
é
. Então, para
:
Como estamos no primeiro octante, o volume
que nos interessa é:
Passo 6
Agora, aplicando o teorema da divergência:
Resposta
O fluxo do campo vetorial
através da superfície
é
.
Exercícios relacionados
Existe
tal que a função
seja contínua em
? Em caso afirmativo, determine o valor de
.
Verifique o teorema de Stokes no seguinte caso:
e
é a porção do paraboloide
para
, orientada com o campo normal apontando para cima.