F(x, y, z) = (x, -z, y) e S é o pedaço da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4 no primeiro octante orientada pela normal apontando para a origem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial e uma superfície S, que é a parte da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4 no primeiro octante. O objetivo é calcular o fluxo desse campo vetorial através dessa superfície S. Para isso, vamos usar o que a gente aprendeu sobre integrais de superfície e o teorema da divergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície S. Ela é a parte da esfera de raio 2 ( raiz(4)) que está no primeiro octante, ou seja, onde x, y e z são todos positivos. A orientação da normal está apontando para a origem, o que significa que estamos olhando do lado de dentro da esfera.

Passo 3

Agora, para calcular o fluxo de F através de S, podemos usar o teorema da divergência. Esse teorema relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a integral da divergência desse campo sobre o volume limitado pela superfície. A fórmula é:

Passo 4

Vamos calcular a divergência de F. A divergência de um vetor é dada por:
Para , temos:

Passo 5

Como a divergência é 1, a integral de volume fica simplesmente a medida do volume V limitado pela superfície S. Mas lembre-se, como S é apenas a parte da esfera no primeiro octante, temos que considerar que o volume total da esfera de raio 2 é dividido em 8 octantes iguais.
O volume de uma esfera de raio r é . Então, para :
Como estamos no primeiro octante, o volume V que nos interessa é:

Passo 6

Agora, aplicando o teorema da divergência:

Resposta

O fluxo do campo vetorial F através da superfície S é .

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