2,0 Seja f: R^2 -> R uma função definida por
f(x, y) = { 3 x^2 y / (x^2 + y^2) ; (x, y) ≠ (0,0) ; a ; (x, y) = (0,0) }
Existe a in R tal que a função f seja contínua em R^2 ? Em caso afirmativo, determine o valor de a.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para verificar se a função é contínua em todo o plano . Isso envolve garantir que, no ponto , o limite da função quando se aproxima de seja igual a . Se isso acontecer, então a função será contínua nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar calcular esse limite.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma função de duas variáveis ser contínua em um ponto, o limite quando tende a esse ponto deve existir e ser igual ao valor da função nesse ponto. Aqui, queremos que:
Então, precisamos calcular esse limite.

Passo 3

A função está definida como:
Para calcular o limite, é comum usar coordenadas polares, pois elas simplificam a expressão e facilitam a análise quando se aproxima de .

Passo 4

Vamos mudar para coordenadas polares. Lembrando que:
onde é a distância até a origem e é o ângulo. Quando tende a 0, tende a .

Passo 5

Substituindo e na função:
Simplificando o denominador:
Então, a função fica:

Passo 6

Agora, queremos calcular o limite quando tende a 0:
Note que e são funções limitadas (sempre entre -1 e 1). Então, quanto tende a 0, todo o termo tende a 0.

Passo 7

Portanto:
Para a função ser contínua em , precisamos que esse limite seja igual a . Assim, concluímos que deve ser 0.

Resposta

Sim, existe. O valor de que torna contínua é .

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