Seja
uma função definida por
Existe
tal que a função
seja contínua em
? Em caso afirmativo, determine o valor de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para verificar se a função
é contínua em todo o plano
. Isso envolve garantir que, no ponto
, o limite da função quando
se aproxima de
seja igual a
. Se isso acontecer, então a função será contínua nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar calcular esse limite.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma função de duas variáveis ser contínua em um ponto, o limite quando
tende a esse ponto deve existir e ser igual ao valor da função nesse ponto. Aqui, queremos que:
Então, precisamos calcular esse limite.
Passo 3
A função está definida como:
Para calcular o limite, é comum usar coordenadas polares, pois elas simplificam a expressão e facilitam a análise quando
se aproxima de
.
Passo 4
Vamos mudar para coordenadas polares. Lembrando que:
onde
é a distância até a origem e
é o ângulo. Quando
tende a 0,
tende a
.
Passo 5
Substituindo
e
na função:
Simplificando o denominador:
Então, a função fica:
Passo 6
Agora, queremos calcular o limite quando
tende a 0:
Note que
e
são funções limitadas (sempre entre -1 e 1). Então, quanto
tende a 0, todo o termo
tende a 0.
Passo 7
Portanto:
Para a função ser contínua em
, precisamos que esse limite seja igual a
. Assim, concluímos que
deve ser 0.
Resposta
Sim, existe. O valor de
que torna
contínua é
.
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Calcule, caso exista.
b) onde
b)