Verifique o teorema de Stokes no seguinte caso:
e
é a porção do paraboloide
para
, orientada com o campo normal apontando para cima.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa verificar o Teorema de Stokes para o campo vetorial
e para a superfície
, que é a parte do paraboloide
entre
. O Teorema de Stokes relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao redor de uma curva fechada com a integral de superfície do rotacional desse campo sobre a superfície limitada por essa curva. Para resolver isso, vamos precisar calcular tanto a integral de linha quanto a integral de superfície e mostrar que elas são iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o rotacional do campo vetorial
, que é o
. O rotacional nos dá uma medida de quão “giro” o campo vetorial tem em torno de cada ponto.
A fórmula do rotacional é:
Para
:
Então,
Passo 3
Agora, vamos parametrizar a superfície
e encontrar o vetor normal
que aponta para cima. A superfície é dada pelo paraboloide
para
.
Podemos usar coordenadas polares para facilitar:
Onde
varia de 0 a 1 (já que
) e
varia de
a
.
O vetor normal
pode ser encontrado usando o gradiente da função que define o paraboloide:
Calculando o gradiente:
Como queremos o vetor normal apontando para cima, mantemos a orientação positiva.
Passo 4
Vamos calcular a integral de superfície
.
Sabendo que
e
, mas como vamos integrar, podemos simplificar usando a parametrização em coordenadas polares.
A integral se torna:
Em coordenadas polares:
Então,
Porém, ao observar a simetria do integrando em
, percebemos que a integral ao longo de
de
de
a
é zero. Portanto,
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral de linha
ao longo da curva limite
da superfície
.
A curva
é a interseção do paraboloide com o plano
, então
em
, o que dá
, ou seja,
. Então,
é o círculo unitário no plano
.
Parametrizando
em coordenadas polares:
onde
varia de
a
.
O vetor
é:
O campo
na curva
é:
Então, a integral de linha é:
Fazendo a substituição
,
:
Resposta
Ambas as integrais, tanto a de superfície quanto a de linha, resultam em zero. Portanto, o Teorema de Stokes está verificado para este caso, já que
.