Verifique o teorema de Stokes no seguinte caso: F(x, y, z) = (x^2 + z, 0, z + 1) e S é a porção do paraboloide z = 1 - x^2 - y^2 para 0 <= z <= 1, orientada com o campo normal apontando para cima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa verificar o Teorema de Stokes para o campo vetorial e para a superfície , que é a parte do paraboloide entre . O Teorema de Stokes relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao redor de uma curva fechada com a integral de superfície do rotacional desse campo sobre a superfície limitada por essa curva. Para resolver isso, vamos precisar calcular tanto a integral de linha quanto a integral de superfície e mostrar que elas são iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotacional do campo vetorial , que é o . O rotacional nos dá uma medida de quão “giro” o campo vetorial tem em torno de cada ponto.
A fórmula do rotacional é:
Para :
Então,

Passo 3

Agora, vamos parametrizar a superfície e encontrar o vetor normal que aponta para cima. A superfície é dada pelo paraboloide para .
Podemos usar coordenadas polares para facilitar:
Onde varia de 0 a 1 (já que ) e varia de a .
O vetor normal pode ser encontrado usando o gradiente da função que define o paraboloide:
Calculando o gradiente:
Como queremos o vetor normal apontando para cima, mantemos a orientação positiva.

Passo 4

Vamos calcular a integral de superfície .
Sabendo que e , mas como vamos integrar, podemos simplificar usando a parametrização em coordenadas polares.
A integral se torna:
Em coordenadas polares:
Então,
Porém, ao observar a simetria do integrando em , percebemos que a integral ao longo de de de a é zero. Portanto,

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral de linha ao longo da curva limite da superfície .
A curva é a interseção do paraboloide com o plano , então em , o que dá , ou seja, . Então, é o círculo unitário no plano .
Parametrizando em coordenadas polares:
onde varia de a .
O vetor é:
O campo na curva é:
Então, a integral de linha é:
Fazendo a substituição , :

Resposta

Ambas as integrais, tanto a de superfície quanto a de linha, resultam em zero. Portanto, o Teorema de Stokes está verificado para este caso, já que .

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