Pede-se, para a EDO de Bernoulli,
d) Resolva a EDO
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é uma EDO de Bernoulli. A equação é:
Aqui, estamos lidando com uma EDO não linear por causa do termo
. Vamos precisar usar a técnica específica para equações de Bernoulli, que envolve uma substituição para transformar essa equação não linear em uma linear.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar os termos claramente:
No nosso caso,
,
e
.
Passo 3
Para resolver a EDO de Bernoulli, fazemos uma substituição que simplifica a equação. Definimos:
Como
, temos:
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Vamos substituir
da equação original na expressão que encontramos para
.
Da equação original:
Substituindo na expressão de
:
Lembrando que
, podemos escrever:
Passo 5
Agora, temos uma equação linear em termos de
:
Vamos resolver essa equação usando o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Multiplicamos toda a equação por
:
Isso simplifica para:
Passo 6
Integramos ambos os lados em relação a
:
Fazendo a substituição
,
, a integral simplifica, mas para este caso, podemos usar a integral conhecida:
Portanto:
Passo 7
Agora, resolvemos para
:
Lembrando que
, temos:
Resposta
Finalmente, isolando
, a solução geral da EDO é:
Exercícios relacionados
b) Resolva o problema de valor inicial composto pela equação do item anterior e a condição
.
Resolva as equações diferenciais
c) .
c)
Utilize o método dos coeficientes a determinar para obter uma solução particular das equações diferenciais
a)
a)
a) Escreva uma representação integral para uma solução particular da EDO