Pede-se, para a EDO de Bernoulli,
y'(t) + p(t) y = q(t) y^n
d) Resolva a EDO d y/d x + x y = x^3 y^3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é uma EDO de Bernoulli. A equação é:
Aqui, estamos lidando com uma EDO não linear por causa do termo . Vamos precisar usar a técnica específica para equações de Bernoulli, que envolve uma substituição para transformar essa equação não linear em uma linear.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar os termos claramente:
No nosso caso, , e .

Passo 3

Para resolver a EDO de Bernoulli, fazemos uma substituição que simplifica a equação. Definimos:
Como , temos:
Agora, vamos calcular a derivada de z em relação a x:

Passo 4

Vamos substituir da equação original na expressão que encontramos para .
Da equação original:
Substituindo na expressão de :
Lembrando que , podemos escrever:

Passo 5

Agora, temos uma equação linear em termos de z:
Vamos resolver essa equação usando o fator integrante. O fator integrante mu(x) é dado por:
Multiplicamos toda a equação por mu(x):
Isso simplifica para:

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a x:
Fazendo a substituição , , a integral simplifica, mas para este caso, podemos usar a integral conhecida:
Portanto:

Passo 7

Agora, resolvemos para z:
Lembrando que , temos:

Resposta

Finalmente, isolando y, a solução geral da EDO é:

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