Pede-se, para a EDO de Bernoulli,
d) Resolva a EDO .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é uma EDO de Bernoulli. A equação é:
Aqui, estamos lidando com uma EDO não linear por causa do termo . Vamos precisar usar a técnica específica para equações de Bernoulli, que envolve uma substituição para transformar essa equação não linear em uma linear.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar os termos claramente:
No nosso caso, , e .

Passo 3

Para resolver a EDO de Bernoulli, fazemos uma substituição que simplifica a equação. Definimos:
Como , temos:
Agora, vamos calcular a derivada de em relação a :

Passo 4

Vamos substituir da equação original na expressão que encontramos para .
Da equação original:
Substituindo na expressão de :
Lembrando que , podemos escrever:

Passo 5

Agora, temos uma equação linear em termos de :
Vamos resolver essa equação usando o fator integrante. O fator integrante é dado por:
Multiplicamos toda a equação por :
Isso simplifica para:

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a :
Fazendo a substituição , , a integral simplifica, mas para este caso, podemos usar a integral conhecida:
Portanto:

Passo 7

Agora, resolvemos para :
Lembrando que , temos:

Resposta

Finalmente, isolando , a solução geral da EDO é:

Exercícios relacionados

b) Resolva o problema de valor inicial composto pela equação do item anterior e a condição .
Resolva as equações diferenciais
c) .
Utilize o método dos coeficientes a determinar para obter uma solução particular das equações diferenciais
a)
a) Escreva uma representação integral para uma solução particular da EDO