a) Escreva uma representação integral para uma solução particular da EDO
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem aqui:
O objetivo é encontrar uma solução particular dessa EDO usando uma representação integral. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre métodos de resolução de EDOs, especialmente o método dos operadores diferenciais e a função Green.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a EDO de uma maneira mais simples usando operadores. Vamos chamar o operador diferencial de
, onde:
Então, a EDO fica:
Para encontrar uma solução particular, precisamos da inversa desse operador,
. A solução particular pode ser escrita como:
Passo 3
Agora, para expressar
de forma integral, usamos a função Green
, que satisfaz:
Onde
é a função delta de Dirac. Com a função Green, a solução particular é dada por:
Passo 4
Nosso próximo passo é encontrar a função Green para o operador
. Para isso, resolvemos:
A solução dessa equação envolve condições de continuidade e descontinuidade na derivada da função Green. Sem entrar nos detalhes técnicos, a função Green para esse operador é:
Passo 5
Finalmente, substituímos a função Green na integral para obter a solução particular:
Essa é a representação integral para uma solução particular da EDO dada.
Resposta
A solução particular da EDO é dada por: