Utilize o método dos coeficientes a determinar para obter uma solução particular das equações diferenciais
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método dos coeficientes a determinar. Nosso objetivo é encontrar uma solução particular para a equação . Para isso, vamos precisar entender como escolher a forma certa para a solução particular e depois determinar os coeficientes que a tornam válida.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Isso nos ajuda a encontrar a solução complementar.
Escrevemos a equação característica:
Resolvendo a equação quadrática:
Como a raiz é dupla, a solução complementar é:
onde e são constantes.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a solução particular para a equação . Como o lado direito é um polinômio de grau 2, assumimos que também é um polinômio de grau 2:
onde , e são coeficientes que precisamos determinar.
Passo 4
Calculamos as derivadas de :
Substituímos , e na equação diferencial:
Simplificando:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação: