Utilize o método dos coeficientes a determinar para obter uma solução particular das equações diferenciais
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método dos coeficientes a determinar. Nosso objetivo é encontrar uma solução particular para a equação
. Para isso, vamos precisar entender como escolher a forma certa para a solução particular e depois determinar os coeficientes que a tornam válida.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Isso nos ajuda a encontrar a solução complementar.
Escrevemos a equação característica:
Resolvendo a equação quadrática:
Como a raiz
é dupla, a solução complementar é:
onde
e
são constantes.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a solução particular
para a equação
. Como o lado direito é um polinômio de grau 2, assumimos que
também é um polinômio de grau 2:
onde
,
e
são coeficientes que precisamos determinar.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Substituímos
,
e
na equação diferencial:
Simplificando:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Resolvendo o sistema:
- De
- Substituindo
na segunda equação: - Substituindo
e na terceira equação:
Resposta
A solução particular é: