Utilize o método dos coeficientes a determinar para obter uma solução particular das equações diferenciais
a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método dos coeficientes a determinar. Nosso objetivo é encontrar uma solução particular para a equação . Para isso, vamos precisar entender como escolher a forma certa para a solução particular e depois determinar os coeficientes que a tornam válida.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Isso nos ajuda a encontrar a solução complementar.
Escrevemos a equação característica:
Resolvendo a equação quadrática:
Como a raiz é dupla, a solução complementar é:
onde e são constantes.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a solução particular para a equação . Como o lado direito é um polinômio de grau 2, assumimos que também é um polinômio de grau 2:
onde , e são coeficientes que precisamos determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de :
Substituímos , e na equação diferencial:
Simplificando:
Agrupando termos semelhantes:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Resolvendo o sistema:
  1. De
  2. Substituindo na segunda equação:
  3. Substituindo e na terceira equação:

Resposta

A solução particular é:

Exercícios relacionados

Pede-se, para a EDO de Bernoulli,
d) Resolva a EDO .
b) Resolva o problema de valor inicial composto pela equação do item anterior e a condição .
a) Escreva uma representação integral para uma solução particular da EDO
Utilizando os axiomas de ordem, mostre que
a)