Um objeto de massa m cai sob açăo da gravidade e sofre uma força de atrito do ar dada por Fs=-alpha v^2. Portanto, quanto maior sua velocidade maior epsilon a forga de atrito. Assim, se sua altura inicial for suficiente ele poderá atingir um regime de velocidade constante. (A) Calcule essa velocidade terminal; (B) Calcule a potência da forģa da gravidade e a potência da força de atrito quando esse regime é alcançado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! O enunciado fala sobre um objeto com massa que está caindo sob a ação da gravidade e sofre uma força de atrito do ar proporcional ao quadrado da velocidade, dada por . O objetivo é:
(A) Calcular a velocidade terminal desse objeto.
(B) Calcular a potência da força da gravidade e a potência da força de atrito quando a velocidade terminal é atingida.
Vamos precisar de conceitos de forças em equilíbrio e potência. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é velocidade terminal. Quando um objeto cai, a força da gravidade puxa ele para baixo, e a resistência do ar (força de atrito) puxa para cima. A velocidade terminal é alcançada quando essas duas forças se equilibram, ou seja, quando a força da gravidade é igual à força de atrito.

Passo 3

A força da gravidade que atua sobre o objeto é dada por , onde é a aceleração da gravidade ( ).
A força de atrito do ar já foi dada no enunciado: . Note que o sinal negativo indica que a força de atrito está na direção oposta ao movimento.

Passo 4

No estado de velocidade terminal, as duas forças se equilibram em magnitude, então podemos escrever:
Fg = Fs
Substituindo as expressões:
m cdot g = alpha vt^2
Aqui, é a velocidade terminal que queremos encontrar.

Passo 5

Agora, isolamos vt^2 = m cdot galpha para encontrar a velocidade terminal:
vt = raizm cdot galpha
Então, a velocidade terminal é a raiz quadrada da massa vezes a gravidade dividida pela constante .

Passo 6

Para a parte (B), precisamos calcular a potência das forças quando a velocidade terminal é alcançada. A potência ( P = F cdot v ) de uma força é dada por:
P = F cdot v
Como as forças estão na mesma direção (a gravidade para baixo e o movimento também para baixo), o produto escalar simplifica para:

Passo 7

Primeiro, calculamos a potência da força da gravidade:
Pg = Fg cdot vt = m cdot g cdot vt
Substituindo Pg = m cdot g cdot raizm cdot galpha que encontramos:

Passo 8

Agora, a potência da força de atrito:
Ps = Fs cdot vt = alpha vt^2 cdot vt = alpha vt^3
Substituindo novamente Ps = alpha ( raizm cdot galpha )^3 = alpha ( m cdot galpha )^32 = m^32 cdot g^32 cdot alpha^-12 :

Resposta

(A) A velocidade terminal é .
(B) A potência da força da gravidade é e a potência da força de atrito é .

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