Uma pedra de é posta a girar em um círculo horizontal presa à extremidade de um cordão de . 0 cordão forma um ângulo de 200 com a horizontal. Determine a rapidez da pedra.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que uma pedra de está girando em um círculo horizontal presa a um cordão de . O cordão forma um ângulo de com a horizontal. Vamos resolver esse problema usando conceitos de movimento circular uniforme e componentes de forças. Precisamos calcular a rapidez da pedra, que é a velocidade com que ela está girando.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar uma figura mental. A pedra está girando em um círculo, e o cordão forma um ângulo de com a horizontal. Isso significa que o cordão tem duas componentes de força: uma horizontal que fornece a força centrípeta necessária para a pedra se mover em círculo, e uma vertical que equilibra o peso da pedra.

Passo 3

Vamos identificar as forças envolvidas:
  1. Força de tensão no cordão ( ): Essa força tem duas componentes devido ao ângulo:
    • Horizontal ( ): Fornece a força centrípeta.
    • Vertical ( ): Equilibra o peso da pedra.
  2. Peso da pedra ( ): É a força gravitacional que age para baixo, calculada por , onde .

Passo 4

Vamos decompor a força de tensão:
  • Componente horizontal ( ):
  • Componente vertical ( ):
Onde .

Passo 5

Sabemos que, na direção vertical, a força de tensão vertical equilibra o peso da pedra:
Podemos resolver para :

Passo 6

Agora, vamos para a direção horizontal. A componente horizontal da tensão fornece a força centrípeta necessária para o movimento circular:

Onde:
- é a rapidez que queremos encontrar.
- é o raio da trajetória circular, que é a componente horizontal do cordão:

Passo 7

Substituindo na equação da força centrípeta:
Simplificando:
Isso pode ser reescrito como:
Onde .

Passo 8

Agora, vamos calcular :

Passo 9

Substituindo os valores na equação para :
Calculando :
Então:

Passo 10

Finalmente, tirando a raiz quadrada para encontrar :

Resposta

A rapidez da pedra é aproximadamente .

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