Uma pedra de 0,2 kg é posta a girar em um círculo horizontal presa à extremidade de um cordão de 0,8 m. 0 cordão forma um ângulo de 200 com a horizontal. Determine a rapidez da pedra.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que uma pedra de 0,2 kg está girando em um círculo horizontal presa a um cordão de 0,8 m. O cordão forma um ângulo de 20^circ com a horizontal. Vamos resolver esse problema usando conceitos de movimento circular uniforme e componentes de forças. Precisamos calcular a rapidez da pedra, que é a velocidade com que ela está girando.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar uma figura mental. A pedra está girando em um círculo, e o cordão forma um ângulo de 20^circ com a horizontal. Isso significa que o cordão tem duas componentes de força: uma horizontal que fornece a força centrípeta necessária para a pedra se mover em círculo, e uma vertical que equilibra o peso da pedra.

Passo 3

Vamos identificar as forças envolvidas:
  1. Força de tensão no cordão ( T): Essa força tem duas componentes devido ao ângulo:
    • Horizontal ( Tx): Fornece a força centrípeta.
    • Vertical ( Ty): Equilibra o peso da pedra.
  2. Peso da pedra ( P): É a força gravitacional que age para baixo, calculada por P = m cdot g, onde g = 9,8 m/s^2.

Passo 4

Vamos decompor a força de tensão:
  • Componente horizontal ( Tx):
    Tx = T cdot cos(theta)
  • Componente vertical ( Ty):
    Ty = T cdot sin(theta)
Onde theta = 20^circ.

Passo 5

Sabemos que, na direção vertical, a força de tensão vertical equilibra o peso da pedra:
Ty = P
T cdot sin(20^circ) = m cdot g
Podemos resolver para T:
T = m cdot gsin(20^circ)

Passo 6

Agora, vamos para a direção horizontal. A componente horizontal da tensão fornece a força centrípeta necessária para o movimento circular:
Tx = m cdot v^2r
Onde:
- v é a rapidez que queremos encontrar.
- r é o raio da trajetória circular, que é a componente horizontal do cordão:
r = L cdot cos(20^circ)
r = 0,8 m cdot cos(20^circ)

Passo 7

Substituindo T na equação da força centrípeta:
( m cdot gsin(20^circ) ) cdot cos(20^circ) = m cdot v^2r
Simplificando:
g cdot cos(20^circ)sin(20^circ) = v^2r
Isso pode ser reescrito como:
v^2 = r cdot g cdot cot(20^circ)
Onde cot(20^circ) = cos(20^circ)sin(20^circ).

Passo 8

Agora, vamos calcular r:
r = 0,8 m cdot cos(20^circ) approx 0,8 m cdot 0,9397 approx 0,752 m

Passo 9

Substituindo os valores na equação para v^2:
v^2 = 0,752 m cdot 9,8 m/s^2 cdot cot(20^circ)
Calculando cot(20^circ):
cot(20^circ) approx 2,7475
Então:
v^2 approx 0,752 cdot 9,8 cdot 2,7475 approx 20,25

Passo 10

Finalmente, tirando a raiz quadrada para encontrar v:
v approx raiz20,25 approx 4,5 m/s

Resposta

A rapidez da pedra é aproximadamente 4,5 m/s.

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