Uma pedra de
é posta a girar em um círculo horizontal presa à extremidade de um cordão de
. 0 cordão forma um ângulo de 200 com a horizontal. Determine a rapidez da pedra.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que uma pedra de
está girando em um círculo horizontal presa a um cordão de
. O cordão forma um ângulo de
com a horizontal. Vamos resolver esse problema usando conceitos de movimento circular uniforme e componentes de forças. Precisamos calcular a rapidez da pedra, que é a velocidade com que ela está girando.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar uma figura mental. A pedra está girando em um círculo, e o cordão forma um ângulo de
com a horizontal. Isso significa que o cordão tem duas componentes de força: uma horizontal que fornece a força centrípeta necessária para a pedra se mover em círculo, e uma vertical que equilibra o peso da pedra.
Passo 3
Vamos identificar as forças envolvidas:
-
Força de tensão no cordão (
): Essa força tem duas componentes devido ao ângulo: - Horizontal (
): Fornece a força centrípeta. - Vertical (
): Equilibra o peso da pedra.
- Horizontal (
-
Peso da pedra (
): É a força gravitacional que age para baixo, calculada por , onde .
Passo 4
Vamos decompor a força de tensão:
-
Componente horizontal (
): -
Componente vertical (
):
Onde
.
Passo 5
Sabemos que, na direção vertical, a força de tensão vertical equilibra o peso da pedra:
Podemos resolver para
:
Passo 6
Agora, vamos para a direção horizontal. A componente horizontal da tensão fornece a força centrípeta necessária para o movimento circular:
Onde:
-
-
Passo 7
Substituindo
na equação da força centrípeta:
Simplificando:
Isso pode ser reescrito como:
Onde
.
Passo 8
Agora, vamos calcular
:
Passo 9
Substituindo os valores na equação para
:
Calculando
:
Então:
Passo 10
Finalmente, tirando a raiz quadrada para encontrar
:
Resposta
A rapidez da pedra é aproximadamente
.