Uma bola é lançada de uma altura de 2 m com uma velocidade de módulo 3 raiz2 m / s a um ângulo 45^circ com a horizontal. Use g=10 m / s^2.
Determine a equação da trajetória (gráfico no plano x-y )

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma bola que é lançada de uma altura de 2 metros com uma velocidade de 3 raiz2 , m/s em um ângulo de 45^circ em relação à horizontal. Queremos descobrir qual é a equação da trajetória dessa bola, ou seja, como a posição vertical ( y) varia em função da posição horizontal ( x).
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de movimento projetil, que envolve decompor a velocidade inicial em suas componentes horizontal e vertical e aplicar as equações de movimento uniformemente acelerado para cada direção.

Passo 2

Primeiro, vamos achar as componentes horizontal ( v0x) e vertical ( v0y) da velocidade inicial. Como o ângulo é 45^circ, as duas componentes serão iguais. A fórmula para as componentes da velocidade é:
v0x = v0 cos(theta)
v0y = v0 sin(theta)
Substituindo os valores:
v0x = 3 raiz2 cdot cos(45^circ) = 3 raiz2 cdot raiz22 = 3 , m/s
v0y = 3 raiz2 cdot sin(45^circ) = 3 raiz2 cdot raiz22 = 3 , m/s
Então, temos que v0x = 3 , m/s e v0y = 3 , m/s.

Passo 3

Agora, vamos escrever as equações da posição em função do tempo para as direções x e y.
Para a direção horizontal ( x), o movimento é uniforme, ou seja, sem aceleração:
x(t) = v0x cdot t
Para a direção vertical ( y), o movimento é uniformemente variado devido à aceleração da gravidade ( g = 10 , m/s^2):
y(t) = y0 + v0y cdot t - 12 g t^2
Onde y0 é a altura inicial, que é 2 metros.

Passo 4

Queremos a equação da trajetória y em função de x. Para isso, precisamos eliminar o tempo ( t) das equações. Vamos isolar t na equação de x(t):
t = xv0x = x3

Passo 5

Agora, substituímos o valor de t na equação de y(t):
y = y0 + v0y cdot ( x3 ) - 12 g ( x3 )^2
Substituindo os valores conhecidos ( y0 = 2, v0y = 3, g = 10):
y = 2 + 3 cdot ( x3 ) - 12 cdot 10 cdot ( x3 )^2

Passo 6

Vamos simplificar a equação:
y = 2 + x - 59 x^2
Portanto, a equação da trajetória fica:
y = 2 + x - 59 x^2

Resposta

A equação da trajetória da bola no plano x-y é:
y = 2 + x - 59 x^2

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