Um parque de diversões possui um jogo de tiro ao alvo. O alvo está inicialmente pendurado a uma altura
em relação ao nível do disparador e a uma distância horizontal
dele. O mecanismo de disparo permite tanto ajustar o ângulo
em relação à horizontal quanto a velocidade de saída
do projétil. No momento em que o disparo é feito, um mecanismo solta o alvo que inicia um movimento de queda livre.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos um parque de diversões com um jogo de tiro ao alvo. O alvo está pendurado a uma altura
acima do nível de onde o disparo é feito e a uma distância horizontal
. Quando você dispara o projétil, pode ajustar o ângulo
e a velocidade inicial
. No mesmo instante em que dispara, o alvo começa a cair livremente. Nosso objetivo aqui é descobrir como ajustar
e
para que o projétil acerte o alvo enquanto ele está caindo. Vamos usar conceitos de movimento projetado e queda livre para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular quanto tempo o projétil leva para percorrer a distância horizontal
. No movimento horizontal, a velocidade é constante, já que não tem aceleração (ignorando o atrito do ar). A equação para a posição horizontal é:
Aqui,
, então podemos reescrever para encontrar o tempo
:
Passo 3
Agora, vamos analisar o movimento vertical. O projétil também está subindo e descendo enquanto viaja na horizontal, mas queremos que ele esteja na mesma posição vertical que o alvo no momento em que chega a
.
Para o projétil, a posição vertical é dada por:
Já para o alvo, que está em queda livre, a posição vertical é:
Para que o projétil acerte o alvo, as posições verticais devem ser iguais no mesmo tempo
:
Note que o termo
aparece dos dois lados e pode ser cancelado:
Passo 4
Substituímos o valor de
que encontramos no Passo 2 nessa equação:
Simplificando:
O
cancela:
Então, temos:
Para encontrar o ângulo
, tiramos o arco-tangente:
Resposta
O ângulo ideal para acertar o alvo é dado por:
Com esse ângulo
, qualquer velocidade inicial
ajustada de acordo com o ângulo garantirá que o projétil acerte o alvo enquanto ele cai livremente.