Um parque de diversões possui um jogo de tiro ao alvo. O alvo está inicialmente pendurado a uma altura em relação ao nível do disparador e a uma distância horizontal dele. O mecanismo de disparo permite tanto ajustar o ângulo em relação à horizontal quanto a velocidade de saída do projétil. No momento em que o disparo é feito, um mecanismo solta o alvo que inicia um movimento de queda livre.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos um parque de diversões com um jogo de tiro ao alvo. O alvo está pendurado a uma altura acima do nível de onde o disparo é feito e a uma distância horizontal . Quando você dispara o projétil, pode ajustar o ângulo e a velocidade inicial . No mesmo instante em que dispara, o alvo começa a cair livremente. Nosso objetivo aqui é descobrir como ajustar e para que o projétil acerte o alvo enquanto ele está caindo. Vamos usar conceitos de movimento projetado e queda livre para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular quanto tempo o projétil leva para percorrer a distância horizontal . No movimento horizontal, a velocidade é constante, já que não tem aceleração (ignorando o atrito do ar). A equação para a posição horizontal é:
Aqui, , então podemos reescrever para encontrar o tempo :

Passo 3

Agora, vamos analisar o movimento vertical. O projétil também está subindo e descendo enquanto viaja na horizontal, mas queremos que ele esteja na mesma posição vertical que o alvo no momento em que chega a .
Para o projétil, a posição vertical é dada por:
Já para o alvo, que está em queda livre, a posição vertical é:
Para que o projétil acerte o alvo, as posições verticais devem ser iguais no mesmo tempo :
Note que o termo aparece dos dois lados e pode ser cancelado:

Passo 4

Substituímos o valor de que encontramos no Passo 2 nessa equação:
Simplificando:
O cancela:
Então, temos:
Para encontrar o ângulo , tiramos o arco-tangente:

Resposta

O ângulo ideal para acertar o alvo é dado por:
Com esse ângulo , qualquer velocidade inicial ajustada de acordo com o ângulo garantirá que o projétil acerte o alvo enquanto ele cai livremente.

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