Um parque de diversões possui um jogo de tiro ao alvo. O alvo está inicialmente pendurado a uma altura h em relação ao nível do disparador e a uma distância horizontal x0 dele. O mecanismo de disparo permite tanto ajustar o ângulo theta em relação à horizontal quanto a velocidade de saída v0 do projétil. No momento em que o disparo é feito, um mecanismo solta o alvo que inicia um movimento de queda livre.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos um parque de diversões com um jogo de tiro ao alvo. O alvo está pendurado a uma altura h acima do nível de onde o disparo é feito e a uma distância horizontal x0. Quando você dispara o projétil, pode ajustar o ângulo theta e a velocidade inicial v0. No mesmo instante em que dispara, o alvo começa a cair livremente. Nosso objetivo aqui é descobrir como ajustar v0 e theta para que o projétil acerte o alvo enquanto ele está caindo. Vamos usar conceitos de movimento projetado e queda livre para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular quanto tempo o projétil leva para percorrer a distância horizontal x0. No movimento horizontal, a velocidade é constante, já que não tem aceleração (ignorando o atrito do ar). A equação para a posição horizontal é:
x = v0 cdot cos(theta) cdot t
Aqui, x = x0, então podemos reescrever para encontrar o tempo t:
t = x0v0 cdot cos(theta)

Passo 3

Agora, vamos analisar o movimento vertical. O projétil também está subindo e descendo enquanto viaja na horizontal, mas queremos que ele esteja na mesma posição vertical que o alvo no momento em que chega a x0.
Para o projétil, a posição vertical é dada por:
yproj = v0 cdot sin(theta) cdot t - 12 g t^2
Já para o alvo, que está em queda livre, a posição vertical é:
yalvo = h - 12 g t^2
Para que o projétil acerte o alvo, as posições verticais devem ser iguais no mesmo tempo t:
v0 cdot sin(theta) cdot t - 12 g t^2 = h - 12 g t^2
Note que o termo 12 g t^2 aparece dos dois lados e pode ser cancelado:
v0 cdot sin(theta) cdot t = h

Passo 4

Substituímos o valor de t que encontramos no Passo 2 nessa equação:
v0 cdot sin(theta) cdot ( x0v0 cdot cos(theta) ) = h
Simplificando:
v0 cdot sin(theta) cdot x0v0 cdot cos(theta) = h
O v0 cancela:
x0 cdot tan(theta) = h
Então, temos:
tan(theta) = hx0
Para encontrar o ângulo theta, tiramos o arco-tangente:
theta = arctan( hx0 )

Resposta

O ângulo ideal para acertar o alvo é dado por:
theta = arctan( hx0 )
Com esse ângulo theta, qualquer velocidade inicial v0 ajustada de acordo com o ângulo garantirá que o projétil acerte o alvo enquanto ele cai livremente.

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