O Pedro entrou agora na universidade e foi informado de que há 30 % de possibilidade de vir a receber uma bolsa de estudo. No caso de a receber, a probabilidade de se licenciar é de 0,85 , enquanto que no caso de não a obter, a probabilidade de se licenciar é de apenas 0,45 .
a) Diga ao Pedro qual é a probabilidade de ele se licenciar.
b) Se, daqui a uns anos, encontrar o Pedro já licenciado, qual a probabilidade de que tenha recebido a bolsa de estudo?

Passo 1

Vamos entender o que o problema está nos dizendo. O Pedro tem uma chance de 30% de conseguir uma bolsa de estudo. Se ele conseguir a bolsa, a chance de se licenciar é de 0,85. Se não conseguir a bolsa, essa chance cai para 0,45. Para resolver as duas partes do exercício, vamos usar conceitos de probabilidade total e de probabilidade condicional.

Passo 2

a) Probabilidade de o Pedro se licenciar
Para encontrar a probabilidade total de o Pedro se licenciar, vamos considerar as duas situações possíveis: ele consegue a bolsa ou não consegue.
Usamos a Regra da Probabilidade Total, que diz que a probabilidade de um evento acontecer é a soma das probabilidades desse evento acontecer em cada cenário possível, ponderadas pela probabilidade de cada cenário.
Matematicamente, fica assim:
P(Licenciar) = P(Bolsa) times P(Licenciar mid Bolsa) + P(Não Bolsa) times P(Licenciar mid Não Bolsa) ãã
Vamos substituir os valores:
P(Licenciar) = 0,30 times 0,85 + (1 - 0,30) times 0,45
Calculando:
P(Licenciar) = 0,30 times 0,85 + 0,70 times 0,45 = 0,255 + 0,315 = 0,57

Passo 3

b) Probabilidade de ter recebido a bolsa dado que o Pedro se licenciou
Aqui, queremos saber a probabilidade de Pedro ter recebido a bolsa sabendo que ele se licenciou. Para isso, usamos o Teorema de Bayes.
O Teorema de Bayes nos permite inverter a condição de uma probabilidade condicional. Ele é dado por:
P(A mid B) = P(B mid A) times P(A)P(B)
Aplicando ao nosso caso:
P(Bolsa mid Licenciar) = P(Licenciar mid Bolsa) times P(Bolsa)P(Licenciar)
Já calculamos P(Licenciar) no passo anterior, que é 0,57. Substituindo os valores:
P(Bolsa mid Licenciar) = 0,85 times 0,300,57 = 0,2550,57 approx 0,447

Resposta

a) A probabilidade de o Pedro se licenciar é de 0,57 (ou 57%).
b) Se encontrarmos o Pedro já licenciado, a probabilidade de que ele tenha recebido a bolsa de estudo é de aproximadamente 0,447 (ou 44,7%).

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