O Pedro entrou agora na universidade e foi informado de que há
de possibilidade de vir a receber uma bolsa de estudo. No caso de a receber, a probabilidade de se licenciar é de 0,85 , enquanto que no caso de não a obter, a probabilidade de se licenciar é de apenas 0,45 .
a) Diga ao Pedro qual é a probabilidade de ele se licenciar.
b) Se, daqui a uns anos, encontrar o Pedro já licenciado, qual a probabilidade de que tenha recebido a bolsa de estudo?
a) Diga ao Pedro qual é a probabilidade de ele se licenciar.
b) Se, daqui a uns anos, encontrar o Pedro já licenciado, qual a probabilidade de que tenha recebido a bolsa de estudo?
Passo 1
Vamos entender o que o problema está nos dizendo. O Pedro tem uma chance de
de conseguir uma bolsa de estudo. Se ele conseguir a bolsa, a chance de se licenciar é de
. Se não conseguir a bolsa, essa chance cai para
. Para resolver as duas partes do exercício, vamos usar conceitos de probabilidade total e de probabilidade condicional.
Passo 2
a) Probabilidade de o Pedro se licenciar
Para encontrar a probabilidade total de o Pedro se licenciar, vamos considerar as duas situações possíveis: ele consegue a bolsa ou não consegue.
Usamos a Regra da Probabilidade Total, que diz que a probabilidade de um evento acontecer é a soma das probabilidades desse evento acontecer em cada cenário possível, ponderadas pela probabilidade de cada cenário.
Matematicamente, fica assim:
Vamos substituir os valores:
Calculando:
Passo 3
b) Probabilidade de ter recebido a bolsa dado que o Pedro se licenciou
Aqui, queremos saber a probabilidade de Pedro ter recebido a bolsa sabendo que ele se licenciou. Para isso, usamos o Teorema de Bayes.
O Teorema de Bayes nos permite inverter a condição de uma probabilidade condicional. Ele é dado por:
Aplicando ao nosso caso:
Já calculamos
no passo anterior, que é
. Substituindo os valores:
Resposta
a) A probabilidade de o Pedro se licenciar é de
(ou
).
b) Se encontrarmos o Pedro já licenciado, a probabilidade de que ele tenha recebido a bolsa de estudo é de aproximadamente
(ou
).