Um peixe mantém sua profundidade na água ajustando a quantidade de ar em ossos porosos ou em bolsas de ar para tornar sua densidade média igual à da água. Suponha que com as bolsas de ar vazias um peixe tenha uma densidade de
. Para que fração de seu volume o peixe deve inflar suas bolsas de ar para reduzir sua densidade até o valor da densidade da água?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um peixe que ajusta a quantidade de ar nas suas bolsas para manter uma profundidade constante na água. A ideia é igualar a densidade média do peixe à da água. Sabemos que, sem ar, a densidade do peixe é de
. Precisamos descobrir qual fração do volume do peixe deve ser ar para que a densidade final seja igual à da água, que é
. Vamos usar conceitos de densidade e fração volumétrica para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a densidade (
) é definida como massa dividida pelo volume:
No caso do peixe, queremos que a densidade média dele seja igual à da água:
Passo 3
Vamos chamar de
o volume total do peixe e de
o volume das bolsas de ar. O volume do corpo do peixe sem ar será então
.
A massa do peixe sem ar é:
Passo 4
Como o ar tem densidade praticamente zero, a massa total do peixe com as bolsas de ar permanece a mesma que a massa do corpo sem ar:
Passo 5
Queremos que a densidade total do peixe com ar seja igual à da água:
Substituindo
:
Passo 6
Vamos resolver a equação:
Multiplicando ambos os lados por
:
Simplificando:
Passo 7
Dividindo ambos os lados por
:
Resposta
O peixe deve inflar suas bolsas de ar para aproximadamente
do seu volume total.