Um peixe mantém sua profundidade na água ajustando a quantidade de ar em ossos porosos ou em bolsas de ar para tornar sua densidade média igual à da água. Suponha que com as bolsas de ar vazias um peixe tenha uma densidade de 1,08 g / cm^3. Para que fração de seu volume o peixe deve inflar suas bolsas de ar para reduzir sua densidade até o valor da densidade da água?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um peixe que ajusta a quantidade de ar nas suas bolsas para manter uma profundidade constante na água. A ideia é igualar a densidade média do peixe à da água. Sabemos que, sem ar, a densidade do peixe é de . Precisamos descobrir qual fração do volume do peixe deve ser ar para que a densidade final seja igual à da água, que é . Vamos usar conceitos de densidade e fração volumétrica para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a densidade ( rho = mV ) é definida como massa dividida pelo volume:
rhoágua = 1,00 , g/cm^3
No caso do peixe, queremos que a densidade média dele seja igual à da água:
á

Passo 3

Vamos chamar de mcorpo = rhocorpo times Vcorpo = 1,08 , g/cm^3 times (Vtotal - Var) o volume total do peixe e de o volume das bolsas de ar. O volume do corpo do peixe sem ar será então .
A massa do peixe sem ar é:

Passo 4

Como o ar tem densidade praticamente zero, a massa total do peixe com as bolsas de ar permanece a mesma que a massa do corpo sem ar:
mtotal = mcorpo = 1,08 times (Vtotal - Var)

Passo 5

Queremos que a densidade total do peixe com ar seja igual à da água:
rhoágua = mtotalVtotal = 1,00 , g/cm^3 á
Substituindo 1,00 = 1,08 times (Vtotal - Var)Vtotal :

Passo 6

Vamos resolver a equação:
1,00 = 1,08 Vtotal - 1,08 VarVtotal
Multiplicando ambos os lados por 1,00 times Vtotal = 1,08 Vtotal - 1,08 Var :
Vtotal = 1,08 Vtotal - 1,08 Var
Simplificando:
1,08 Var = 1,08 Vtotal - Vtotal
1,08 Var = 0,08 Vtotal

Passo 7

Dividindo ambos os lados por Var = 0,081,08 Vtotal :
Var approx 0,0741 , Vtotal

Resposta

O peixe deve inflar suas bolsas de ar para aproximadamente do seu volume total.

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