Um pêndulo cônico é formado por uma massa de m presa a um cordão de comprimento L. A massa gira formando um círculo horizontal de de raio r. Determine: (a) a velocidade da massa, (b) a aceleração e © a tensão no cordão.
(resposta: a) raizR g tan theta; b) -g tan theta r; c) m g / raiz1-r^2 / L^2 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre um pêndulo cônico! A gente vai precisar usar conceitos de movimento circular uniforme e forças em equilíbrio. Vamos determinar a velocidade da massa, a aceleração e a tensão no cordão. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o sistema. Temos uma massa m presa a um cordão de comprimento L, formando um ângulo theta com a vertical enquanto gira em um círculo horizontal de raio r. Para entender isso, precisamos relacionar o comprimento do cordão com o raio do movimento circular:
r = L sin theta

Passo 3

Agora, vamos pensar nas forças atuando na massa. Temos duas forças principais:
  1. A força da gravidade: Fg = m g, puxando a massa para baixo.
  2. A tensão no cordão: T, que tem componentes vertical e horizontal.
Como a massa está em movimento circular, a componente horizontal da tensão fornece a força centrípeta necessária para manter o movimento.

Passo 4

Vamos decompor a tensão T em suas componentes:
  • Componente vertical: T cos theta, que equilibra a força da gravidade.
  • Componente horizontal: T sin theta, que fornece a força centrípeta.
Então, temos:
T cos theta = m g
T sin theta = m v^2r

Passo 5

Vamos resolver para a velocidade v. Dividindo a segunda equação pela primeira:
T sin thetaT cos theta = m v^2rm g
tan theta = v^2r g
v^2 = r g tan theta
v = raizr g tan theta

Passo 6

Agora, vamos determinar a aceleração centrípeta a. Sabemos que a aceleração centrípeta é dada por:
a = -v^2r r
Substituindo v^2 da etapa anterior:
a = -r g tan thetar r
a = -g tan theta r

Passo 7

Por fim, vamos encontrar a tensão no cordão T. Da primeira equação da decomposição das forças:
T cos theta = m g
T = m gcos theta
Sabemos que cos theta = raiz1 - sin^2 theta = raiz1 - r^2L^2, já que r = L sin theta. Substituindo:
T = m graiz1 - r^2L^2

Resposta

a) raizr g tan theta;
b) -g tan theta r;
c) dfracm graiz1 - dfracr^2L^2

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