Um pêndulo consistindo em uma esfera de massa igual a 250 g , pendurado em um prego por um cordão de 2,70 m, é levado até uma altura H de 90 cm em relação à sua posição de equilíbrio O, mantendo-se o cordão esticado, e então liberado. Despreze quaisquer atritos.
Quando o pêndulo passar por O, o cordão dobra devido a um segundo prego fixo a uma altura h acima de O. Quais serão as novas alturas que ele atingirá se h for 1,50 m, 90 cm, 50 cm ?

Passo 1

Então, a gente tem um pêndulo com uma esfera de 250 g presa por um cordão de 2,70 metros. Ele é levantado até uma altura de 90 cm acima da posição de equilíbrio e depois solto. A ideia é descobrir até que altura ele vai subir após passar pelo ponto de equilíbrio quando o cordão dobra em um segundo prego colocado a diferentes alturas: 1,50 m, 90 cm e 50 cm. Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia potencial e conservação de energia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a energia envolvida. Quando a esfera está na altura inicial de 90 cm, ela tem energia potencial gravitacional máxima e energia cinética zero porque está parada. Quando ela passa pelo ponto de equilíbrio, toda essa energia potencial se transforma em energia cinética.
A fórmula da energia potencial gravitacional é:
Ep = m cdot g cdot h
onde:
  • é a massa (0,250 kg),
  • é a aceleração da gravidade (aproximadamente ),
  • é a altura.

Passo 3

Quando o cordão dobra no segundo prego, a extensão do cordão muda. A nova altura máxima que a esfera alcança vai depender da nova altura do prego H' = H - h . A energia total do sistema permanece constante (sem atritos), então podemos igualar a energia no ponto de liberação com a energia após o cordão dobrar.
A altura inicial m cdot g cdot H = m cdot g cdot H' é 0,90 m. Quando passa pelo prego a altura , a nova altura será:
Mas precisamos considerar que a energia é distribuída de forma que:
Simplificando, percebemos que a nova amplitude depende da diferença entre a altura inicial e a altura do prego.

Passo 4

Vamos calcular para cada altura do prego:
  1. Para H' = H - h = 0,90 , m - 1,50 , m = -0,60 , m :
    H' = H - h = 0,90 , m - 0,90 , m = 0 , m
    Isso significa que o prego está acima da altura inicial, o que não é possível nesse contexto. Então, o pêndulo não atingirá essa altura do prego.
  2. Para H' = H - h = 0,90 , m - 0,50 , m = 0,40 , m :
    Neste caso, o prego está exatamente na posição de equilíbrio. Após passar por , o pêndulo continuará com a mesma energia, mas sem ganhar altura adicional.
  3. Para :
    Assim, a nova altura máxima será de 40 cm acima da nova posição de equilíbrio após o cordão dobrar.

Resposta

Para as alturas do prego :
  • 1,50 m: O prego está acima da altura inicial, então o pêndulo não dobrará o cordão nessa altura.
  • 90 cm: O prego está na posição de equilíbrio, portanto o pêndulo não ganhará nova altura.
  • 50 cm: A nova altura máxima que o pêndulo atingirá será de 40 cm acima da nova posição de equilíbrio.

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