Um pêndulo consistindo em uma esfera de massa igual a 250 g , pendurado em um prego por um cordão de
, é levado até uma altura
de 90 cm em relação à sua posição de equilíbrio
, mantendo-se o cordão esticado, e então liberado. Despreze quaisquer atritos.
Quando o pêndulo passar por
, o cordão dobra devido a um segundo prego fixo a uma altura
acima de
. Quais serão as novas alturas que ele atingirá se
for
, 50 cm ?
Quando o pêndulo passar por
Passo 1
Então, a gente tem um pêndulo com uma esfera de 250 g presa por um cordão de 2,70 metros. Ele é levantado até uma altura de 90 cm acima da posição de equilíbrio e depois solto. A ideia é descobrir até que altura ele vai subir após passar pelo ponto de equilíbrio quando o cordão dobra em um segundo prego colocado a diferentes alturas: 1,50 m, 90 cm e 50 cm. Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia potencial e conservação de energia.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a energia envolvida. Quando a esfera está na altura inicial de 90 cm, ela tem energia potencial gravitacional máxima e energia cinética zero porque está parada. Quando ela passa pelo ponto de equilíbrio, toda essa energia potencial se transforma em energia cinética.
A fórmula da energia potencial gravitacional é:
onde:
-
é a massa (0,250 kg), -
é a aceleração da gravidade (aproximadamente ), -
é a altura.
Passo 3
Quando o cordão dobra no segundo prego, a extensão do cordão muda. A nova altura máxima que a esfera alcança vai depender da nova altura do prego
. A energia total do sistema permanece constante (sem atritos), então podemos igualar a energia no ponto de liberação com a energia após o cordão dobrar.
A altura inicial
é 0,90 m. Quando passa pelo prego a altura
, a nova altura
será:
Mas precisamos considerar que a energia é distribuída de forma que:
Simplificando, percebemos que a nova amplitude depende da diferença entre a altura inicial e a altura do prego.
Passo 4
Vamos calcular para cada altura do prego:
-
Para
: Isso significa que o prego está acima da altura inicial, o que não é possível nesse contexto. Então, o pêndulo não atingirá essa altura do prego. -
Para
: Neste caso, o prego está exatamente na posição de equilíbrio. Após passar por, o pêndulo continuará com a mesma energia, mas sem ganhar altura adicional. -
Para
: Assim, a nova altura máxima será de 40 cm acima da nova posição de equilíbrio após o cordão dobrar.
Resposta
Para as alturas do prego
:
- 1,50 m: O prego está acima da altura inicial, então o pêndulo não dobrará o cordão nessa altura.
- 90 cm: O prego está na posição de equilíbrio, portanto o pêndulo não ganhará nova altura.
- 50 cm: A nova altura máxima que o pêndulo atingirá será de 40 cm acima da nova posição de equilíbrio.