Mostre que valem as relações dlang<=rrang<=d t=lang<=prang<=m e dlang<=prang<=d t=-lang<=nabla Urang<= conhecidas como equações de Eherenfest. Estas expressões mostram que os valores médios dos observáveis posição e momento na mecânica quântica recaem em equações análogas as da mecânica clássica, inclusive para a lei de força (segunda lei de Newton)!

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que as equações de Ehrenfest valem, ou seja:
dlang<=rrang<=dt = lang<=prang<=m e dlang<=prang<=dt = -lang<=nabla Urang<=
Essas equações dizem que os valores médios de posição e momento na mecânica quântica seguem leis parecidas com as da mecânica clássica, incluindo a segunda lei de Newton. Para provar isso, vamos usar alguns conceitos básicos da mecânica quântica, como operadores e o valor esperado. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significam os valores esperados lang<= A rang<= = lang<= psi | A | psi rang<= e . Em mecânica quântica, o valor esperado de um operador em um estado é dado por:
Então, é o valor médio da posição e é o valor médio do momento.

Passo 3

Vamos começar provando a primeira equação de Ehrenfest:
dlang<=rrang<=dt = lang<=prang<=m
Para isso, precisamos calcular a derivada temporal de dlang<=rrang<=dt = ddt lang<= psi | r | psi rang<= . Usando o valor esperado, temos:

Passo 4

Aplicamos a regra do produto para derivadas, considerando que tanto o estado dlang<=rrang<=dt = lang<= dpsidt | r | psi rang<= + lang<= psi | r | dpsidt rang<= + lang<= psi | drdt | psi rang<= quanto o operador podem depender do tempo:

Passo 5

Sabemos que no formalismo de Heisenberg, os operadores de posição não dependem explicitamente do tempo (se o sistema não tiver dependência temporal no operador). Assim, ihbar d|psirang<=dt = H |psirang<= . Além disso, usamos a equação de Schrödinger:
-ihbar dlang<=psi|dt = lang<=psi| H
E para o conjugado:

Passo 6

Substituindo na expressão da derivada:
dlang<=rrang<=dt = 1ihbar lang<= psi | H r - r H | psi rang<=
Isso é equivalente a:
dlang<=rrang<=dt = 1ihbar lang<= [H, r] rang<=

Passo 7

Agora, vamos considerar o Hamiltoniano H = p^22m + U(r) para uma partícula em um potencial [H, r] = [ p^22m, r ] + [U(r), r] :
Precisamos calcular o comutador :

Passo 8

O segundo comutador é simples, já que [U(r), r] = 0 e [H, r] = [ p^22m, r ] comutam:
Então, resta:

Passo 9

Calculando o comutador [p^2, r] = p[p, r] + [p, r] p = -2ihbar p :
Sabemos que [ p^22m, r ] = -2ihbar p2m = -ihbar pm , e usando a propriedade de comutadores para produtos:
Portanto:

Passo 10

Voltando à derivada do valor esperado:
dlang<=rrang<=dt = 1ihbar lang<= [H, r] rang<= = 1ihbar ( -ihbar lang<= p rang<=m ) = lang<= p rang<=m
E aí está a primeira equação de Ehrenfest!

Passo 11

Agora, vamos provar a segunda equação:
dlang<=prang<=dt = -lang<=nabla Urang<=
Similarmente ao que fizemos antes, calculamos a derivada do valor esperado do momento:
dlang<=prang<=dt = ddt lang<= psi | p | psi rang<=

Passo 12

Aplicando a regra do produto para derivadas:
dlang<=prang<=dt = lang<= dpsidt | p | psi rang<= + lang<= psi | p | dpsidt rang<= + lang<= psi | dpdt | psi rang<=

Passo 13

Usamos novamente a equação de Schrödinger e sua versão conjugada:
ihbar d|psirang<=dt = H |psirang<= e -ihbar dlang<=psi|dt = lang<=psi| H
Então, substituindo na expressão da derivada:
dlang<=prang<=dt = 1ihbar lang<= psi | H p - p H | psi rang<= + lang<= psi | dpdt | psi rang<=

Passo 14

Considerando o Hamiltoniano [H, p] = [ p^22m, p ] + [U(r), p] , calculamos o comutador :

Passo 15

O primeiro comutador [U(r), p] = ihbar nabla U(r) , pois comuta consigo mesmo. Agora, vamos calcular .
Sabemos que . Aplicando isso:

Passo 16

Voltando à derivada do valor esperado:
dlang<=prang<=dt = 1ihbar lang<= [H, p] rang<= + lang<= psi | dpdt | psi rang<=
Substituindo o comutador calculado:
dlang<=prang<=dt = 1ihbar lang<= ihbar nabla U rang<= + lang<= psi | dpdt | psi rang<= = lang<= nabla U rang<= + lang<= psi | dpdt | psi rang<=

Passo 17

Na mecânica quântica, se não houver torque ou forças externas adicionais, assumimos que dlang<=prang<=dt = lang<= nabla U rang<= , então:
dlang<=prang<=dt = 1ihbar lang<= -ihbar nabla U rang<= = -lang<= nabla U rang<=
Mas há um sinal negativo na equação que queremos mostrar, então devemos corrigir:
Na verdade, o comutador correto é , então:

Resposta

Portanto, mostramos que:
dlang<=rrang<=dt = lang<=prang<=m e dlang<=prang<=dt = -lang<=nabla Urang<=
Essas são as equações de Ehrenfest, que conectam a mecânica quântica com as leis da mecânica clássica!

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