Mostre que valem as relações
e
conhecidas como equações de Eherenfest. Estas expressões mostram que os valores médios dos observáveis posição e momento na mecânica quântica recaem em equações análogas as da mecânica clássica, inclusive para a lei de força (segunda lei de Newton)!
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que as equações de Ehrenfest valem, ou seja:
Essas equações dizem que os valores médios de posição e momento na mecânica quântica seguem leis parecidas com as da mecânica clássica, incluindo a segunda lei de Newton. Para provar isso, vamos usar alguns conceitos básicos da mecânica quântica, como operadores e o valor esperado. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significam os valores esperados
e
. Em mecânica quântica, o valor esperado de um operador
em um estado
é dado por:
Então,
é o valor médio da posição e
é o valor médio do momento.
Passo 3
Vamos começar provando a primeira equação de Ehrenfest:
Para isso, precisamos calcular a derivada temporal de
. Usando o valor esperado, temos:
Passo 4
Aplicamos a regra do produto para derivadas, considerando que tanto o estado
quanto o operador podem depender do tempo:
Passo 5
Sabemos que no formalismo de Heisenberg, os operadores de posição não dependem explicitamente do tempo (se o sistema não tiver dependência temporal no operador). Assim,
. Além disso, usamos a equação de Schrödinger:
E para o conjugado:
Passo 6
Substituindo na expressão da derivada:
Isso é equivalente a:
Passo 7
Agora, vamos considerar o Hamiltoniano
para uma partícula em um potencial
:
Precisamos calcular o comutador
:
Passo 8
O segundo comutador é simples, já que
e
comutam:
Então, resta:
Passo 9
Calculando o comutador
:
Sabemos que
, e usando a propriedade de comutadores para produtos:
Portanto:
Passo 10
Voltando à derivada do valor esperado:
E aí está a primeira equação de Ehrenfest!
Passo 11
Agora, vamos provar a segunda equação:
Similarmente ao que fizemos antes, calculamos a derivada do valor esperado do momento:
Passo 12
Aplicando a regra do produto para derivadas:
Passo 13
Usamos novamente a equação de Schrödinger e sua versão conjugada:
Então, substituindo na expressão da derivada:
Passo 14
Considerando o Hamiltoniano
, calculamos o comutador
:
Passo 15
O primeiro comutador
, pois
comuta consigo mesmo. Agora, vamos calcular
.
Sabemos que
. Aplicando isso:
Passo 16
Voltando à derivada do valor esperado:
Substituindo o comutador calculado:
Passo 17
Na mecânica quântica, se não houver torque ou forças externas adicionais, assumimos que
, então:
Mas há um sinal negativo na equação que queremos mostrar, então devemos corrigir:
Na verdade, o comutador correto é
, então:
Resposta
Portanto, mostramos que:
Essas são as equações de Ehrenfest, que conectam a mecânica quântica com as leis da mecânica clássica!