Uma conta de massa , enfiada em um aro (anel) vertical de raio , desliza sem atrito em torno do ponto mais baixo (posição de equilíbrio). Se é o ângulo com a vertical, mostre que para pequenas oscilações o movimento é harmônico e calcule a frequência angular.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma massa que está presa a um aro vertical de raio e pode deslizar sem atrito. O aro está na posição vertical, e a massa pode se mover ao redor dele, fazendo um ângulo com a vertical. O exercício pede pra gente mostrar que, para oscilações pequenas (ou seja, quando é bem pequenininho), o movimento dessa massa é harmônico e também calcular a frequência angular desse movimento.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de leis de Newton, energia potencial, e movimento harmônico simples. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos pensar nas forças que atuam na massa quando ela está em algum ângulo com a vertical. Como a massa está deslizando sem atrito, as únicas forças que precisam considerar são:
  1. Força da gravidade: Puxa a massa pra baixo, com intensidade , onde é a aceleração da gravidade.
  2. Força normal do aro: É a força que o aro exerce na massa, perpendicular à superfície do aro.
A gente vai descrever o movimento em termos do ângulo .

Passo 3

Como estamos lidando com oscilações pequenas, podemos usar a aproximação de pequeno ângulo, onde e . Isso simplifica os cálculos sem perder precisão para oscilações pequenas.
Vamos analisar a componente da força da gravidade que está puxando a massa de volta para a posição de equilíbrio. Essa força restauradora é responsável por causar as oscilações.

Passo 4

A componente da força da gravidade que atua na direção do movimento é . Usando a aproximação de pequeno ângulo, isso fica aproximadamente .
Então, a força restauradora que puxa a massa de volta é:
O sinal negativo indica que a força está sempre na direção oposta ao deslocamento.

Passo 5

Agora, vamos relacionar essa força com a segunda lei de Newton para movimentos circulares. A aceleração angular está relacionada à força por:
No caso de movimentos angulares, a aceleração tangencial é , então:
Podemos simplificar dividindo os dois lados por :

Passo 6

Sabemos que a aceleração angular é a segunda derivada do ângulo em relação ao tempo:
Substituindo na equação:
Podemos rearranjar isso para:
Essa é a equação diferencial de um movimento harmônico simples (MHS), que tem a forma:
Onde é a frequência angular.

Passo 7

Comparando as duas equações, vemos que:
Então, a frequência angular é:

Resposta

Para oscilações pequenas, o movimento da massa é harmônico, e a frequência angular é dada por:

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