Um corpo de 1,2 kg está pendurado numa mola vertical cuja constante de força é 300 N / m e oscila com a velocidade máxima de 30 cm / s. (a) Qual o deslocamento máximo do corpo? (b) Quando o corpo estiver no ponto de deslocamento máximo, calcule as energias total, potencial gravitacional e potencial da mola.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um corpo de pendurado numa mola vertical com constante de força e está oscilando com uma velocidade máxima de . A gente precisa descobrir:
a) Qual é o deslocamento máximo do corpo?
b) Quando o corpo está no ponto de deslocamento máximo, calcular as energias total, potencial gravitacional e potencial da mola.
Vamos usar conceitos de física de oscilação harmônica simples e energia mecânica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é deslocamento máximo. Em oscilações, o deslocamento máximo (também chamado de amplitude vmax = A cdot omega ) é a maior distância que o objeto se move a partir da posição de equilíbrio.
A velocidade máxima ( ) ocorre quando o objeto passa pela posição de equilíbrio. Podemos relacionar a velocidade máxima com a amplitude usando a fórmula:
onde é a frequência angular.

Passo 3

Para encontrar omega = raizkm , usamos a fórmula da frequência angular para uma mola:
omega = raiz300 , N/m1,2 , kg = raiz250 , s^-2 approx 15,81 , rad/s
onde é a constante da mola e é a massa do corpo.
Vamos calcular :

Passo 4

Agora que temos A = vmaxomega , podemos encontrar a amplitude 30 , cm/s = 0,3 , m/s :
A = 0,3 , m/s15,81 , rad/s approx 0,019 , m = 1,9 , cm
Lembre-se de converter a velocidade máxima para metros por segundo:
Então:

Passo 5

Pronto, respondemos a parte (a). Agora, vamos para a parte (b):
Quando o corpo está no deslocamento máximo, a velocidade é zero, e a energia do sistema está toda em forma de energia potencial. A energia mecânica total ( E = 12 k A^2 ) em oscilações harmônicas simples é constante e é dada por:
Ug = m g h
A energia potencial gravitacional ( Uk = 12 k A^2 ) pode ser calculada usando:
onde é a altura, que, nesse caso, é igual à amplitude .
A energia potencial da mola ( ) é:

Passo 6

Vamos calcular cada uma dessas energias:
Primeiro, a energia mecânica total:
E = 12 times 300 , N/m times (0,019 , m)^2 approx 0,054 , J
Agora, a energia potencial gravitacional:
Ug = 1,2 , kg times 9,8 , m/s^2 times 0,019 , m approx 0,224 , J
E a energia potencial da mola:
Uk = 12 times 300 , N/m times (0,019 , m)^2 approx 0,054 , J

Resposta

a) O deslocamento máximo do corpo é aproximadamente .
b) No ponto de deslocamento máximo, as energias são:
  • Energia total:
  • Energia potencial gravitacional:
  • Energia potencial da mola:

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