Um pêndulo simples consiste numa massa m presa a um fio leve de comprimento l, fixo em um ponto em torno do qual pode oscilar sem atrito. O fio é deslocado da posição de equilíbrio
por um ângulo theta e liberado para oscilar livremente. Considere o caso de oscilações livres e obtenha a frequência natural de oscilação do pêndulo para pequenos deslocamentos angulares utilizando a 2 a Lei de Newton e métodos de energia.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o pêndulo simples! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um pêndulo com uma massa presa a um fio de comprimento . O pêndulo é puxado para um pequeno ângulo e depois liberado para oscilar. Queremos encontrar a frequência natural dessas oscilações usando a 2ª Lei de Newton e métodos de energia. Vamos precisar de conceitos de movimentos oscilatórios, forças envolvidas e energia potencial e cinética.

Passo 2

Vamos começar aplicando a 2ª Lei de Newton. Para isso, precisamos identificar as forças que atuam na massa do pêndulo. As duas principais forças são:
  1. Força peso ( ): que aponta para baixo e tem magnitude .
  2. Força tensora ( ): que atua ao longo do fio, segurando a massa.
Quando o pêndulo está deslocado por um ângulo , a força peso pode ser decomposta em duas componentes:
  • Paralela ao arco:
  • Perpendicular ao arco:
A força paralela é a responsável pela aceleração angular do pêndulo.

Passo 3

Segundo a 2ª Lei de Newton, a força resultante na direção do movimento é igual à massa vezes a aceleração. No caso do pêndulo, a força resultante na direção do arco é a = l alpha (o sinal negativo indica que a força tenta trazer o pêndulo de volta à posição de equilíbrio).
A aceleração tangencial ( F = m a ) está relacionada com a aceleração angular ( -mg sintheta = m l alpha ) pela equação:
-g sintheta = l alpha
Então, aplicando a 2ª Lei:

Passo 4

Para pequenos ângulos ( -g theta = l alpha próximo de zero), podemos usar a aproximação alpha = d^2 thetadt^2 (em radianos). Então, substituímos na equação:
-g theta = l d^2 thetadt^2
Sabemos que a aceleração angular é a segunda derivada do ângulo em relação ao tempo:
d^2 thetadt^2 + gl theta = 0
Substituindo:
Reorganizando:

Passo 5

Essa é a equação diferencial de um movimento harmônico simples, onde a frequência angular ( omega = raizgl ) é dada por:
f = omega2pi
A frequência ( f = 12pi raizgl ) está relacionada com a frequência angular pela fórmula:
Então:

Resposta

A frequência natural de oscilação do pêndulo para pequenos deslocamentos angulares é:
f = 12pi raizgl

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