Um pêndulo simples consiste numa massa presa a um fio leve de comprimento , fixo em um ponto em torno do qual pode oscilar sem atrito. O fio é deslocado da posição de equilíbrio
por um ângulo e liberado para oscilar livremente. Considere o caso de oscilações livres e obtenha a frequência natural de oscilação do pêndulo para pequenos deslocamentos angulares utilizando a 2 a Lei de Newton e métodos de energia.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o pêndulo simples! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um pêndulo com uma massa presa a um fio de comprimento . O pêndulo é puxado para um pequeno ângulo e depois liberado para oscilar. Queremos encontrar a frequência natural dessas oscilações usando a 2ª Lei de Newton e métodos de energia. Vamos precisar de conceitos de movimentos oscilatórios, forças envolvidas e energia potencial e cinética.

Passo 2

Vamos começar aplicando a 2ª Lei de Newton. Para isso, precisamos identificar as forças que atuam na massa do pêndulo. As duas principais forças são:
  1. Força peso ( ): que aponta para baixo e tem magnitude .
  2. Força tensora ( ): que atua ao longo do fio, segurando a massa.
Quando o pêndulo está deslocado por um ângulo , a força peso pode ser decomposta em duas componentes:
  • Paralela ao arco:
  • Perpendicular ao arco:
A força paralela é a responsável pela aceleração angular do pêndulo.

Passo 3

Segundo a 2ª Lei de Newton, a força resultante na direção do movimento é igual à massa vezes a aceleração. No caso do pêndulo, a força resultante na direção do arco é (o sinal negativo indica que a força tenta trazer o pêndulo de volta à posição de equilíbrio).
A aceleração tangencial ( ) está relacionada com a aceleração angular ( ) pela equação:
Então, aplicando a 2ª Lei:

Passo 4

Para pequenos ângulos ( próximo de zero), podemos usar a aproximação (em radianos). Então, substituímos na equação:
Sabemos que a aceleração angular é a segunda derivada do ângulo em relação ao tempo:
Substituindo:
Reorganizando:

Passo 5

Essa é a equação diferencial de um movimento harmônico simples, onde a frequência angular ( ) é dada por:
A frequência ( ) está relacionada com a frequência angular pela fórmula:
Então:

Resposta

A frequência natural de oscilação do pêndulo para pequenos deslocamentos angulares é:

Exercícios relacionados

PERFIL U | Determine o esforço normal resistente à tração:
  • Aço ASTM A36: e ;
  • Diâmetro nominal do parafuso ;
  • Furos puncionados;
  • U ;
  • (FORNECIDOS PELO FABRICANTE)
    [mm]
PERFIL CANTONEIRA | Determine o esforço normal resistente à tração:
  • Aço ASTM A36: e
  • Diâmetro nominal do parafuso ;
  • Furos puncionados;
  • L ;
  • e .
    [mm]
Determinar os esforços axiais nas barras. Utilize o método dos nós.
No projeto de um carro de fórmula 1, você ficou responsável por projetar um eixo que é submetido a carregamento de torção. Deverá ser utilizado o material A da tabela acima para o eixo, podendo o mesmo ser vazado ou sólido. O torque aplicado é de 1350 N.m e o giro máximo que a barra pode sofrer é de .
A) Determine o diâmetro da barra sólida ;
B) Determine o diâmetro externo do tubo , considerando que o diâmetro interno é .