Um pêndulo simples consiste numa massa
presa a um fio leve de comprimento
, fixo em um ponto em torno do qual pode oscilar sem atrito. O fio é deslocado da posição de equilíbrio
por um ângulo
e liberado para oscilar livremente. Considere o caso de oscilações livres e obtenha a frequência natural de oscilação do pêndulo para pequenos deslocamentos angulares utilizando a 2 a Lei de Newton e métodos de energia.
por um ângulo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o pêndulo simples! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um pêndulo com uma massa
presa a um fio de comprimento
. O pêndulo é puxado para um pequeno ângulo
e depois liberado para oscilar. Queremos encontrar a frequência natural dessas oscilações usando a 2ª Lei de Newton e métodos de energia. Vamos precisar de conceitos de movimentos oscilatórios, forças envolvidas e energia potencial e cinética.
Passo 2
Vamos começar aplicando a 2ª Lei de Newton. Para isso, precisamos identificar as forças que atuam na massa do pêndulo. As duas principais forças são:
- Força peso (
): que aponta para baixo e tem magnitude . - Força tensora (
): que atua ao longo do fio, segurando a massa.
Quando o pêndulo está deslocado por um ângulo
, a força peso pode ser decomposta em duas componentes:
- Paralela ao arco:
- Perpendicular ao arco:
A força paralela é a responsável pela aceleração angular do pêndulo.
Passo 3
Segundo a 2ª Lei de Newton, a força resultante na direção do movimento é igual à massa vezes a aceleração. No caso do pêndulo, a força resultante na direção do arco é
(o sinal negativo indica que a força tenta trazer o pêndulo de volta à posição de equilíbrio).
A aceleração tangencial (
) está relacionada com a aceleração angular (
) pela equação:
Então, aplicando a 2ª Lei:
Passo 4
Para pequenos ângulos (
próximo de zero), podemos usar a aproximação
(em radianos). Então, substituímos na equação:
Sabemos que a aceleração angular é a segunda derivada do ângulo em relação ao tempo:
Substituindo:
Reorganizando:
Passo 5
Essa é a equação diferencial de um movimento harmônico simples, onde a frequência angular (
) é dada por:
A frequência (
) está relacionada com a frequência angular pela fórmula:
Então:
Resposta
A frequência natural de oscilação do pêndulo para pequenos deslocamentos angulares é:
Exercícios relacionados
PERFIL U | Determine o esforço normal resistente à tração:
- Aço ASTM A36:
e ; - Diâmetro nominal do parafuso
; - Furos puncionados;
- U
; -
(FORNECIDOS PELO FABRICANTE)
[mm]
PERFIL CANTONEIRA | Determine o esforço normal resistente à tração:
- Aço ASTM A36:
e - Diâmetro nominal do parafuso
; - Furos puncionados;
- L
; -
e .
[mm]
Determinar os esforços axiais nas barras. Utilize o método dos nós.
No projeto de um carro de fórmula 1, você ficou responsável por projetar um eixo que é submetido a carregamento de torção. Deverá ser utilizado o material A da tabela acima para o eixo, podendo o mesmo ser vazado ou sólido. O torque aplicado é de 1350 N.m e o giro máximo que a barra pode sofrer é de
.
A) Determine o diâmetro da barra sólida ;
B) Determine o diâmetro externo do tubo , considerando que o diâmetro interno é
.
A) Determine o diâmetro da barra sólida
B) Determine o diâmetro externo do tubo