Pêndulo simples: Para fazer um pêndulo, prende-se uma pequena bola de massa m a uma das extremidades de um fio de comprimento L e massa desprezível e fixa a outra extremidade a um suporte. A bola é puxada para um lado até que o fio faça um ângulo theta com a vertical, lança-se então a bola com uma velocidade inicial v0. Encontre a velocidade máxima da bola em termos de L, theta, v0 e g. Qual deve ser o ângulo entre o fio e a vertical para que a velocidade da bola seja metade de seu valor máximo?

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado está perguntando. Temos um pêndulo simples formado por uma bola de massa m presa a um fio de comprimento L. A bola é puxada para um lado formando um ângulo theta com a vertical e, em seguida, lançada com uma velocidade inicial v0. Precisamos encontrar:
  1. A velocidade máxima da bola em termos de L, theta, v0 e g (aceleração da gravidade).
  2. O ângulo que o fio deve fazer com a vertical para que a velocidade da bola seja metade de seu valor máximo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de conservação de energia e cinemática do movimento circular.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a energia no ponto mais alto (quando a bola está no ângulo theta) e no ponto mais baixo do seu trajeto.
No ponto mais alto:
  • Energia potencial gravitacional: U = mgh, onde h é a altura.
  • Energia cinética: K = 12mv0^2.
No ponto mais baixo:
  • Energia potencial gravitacional: U = 0 (definindo como referência).
  • Energia cinética: K = 12mvmax^2.

Passo 3

Vamos calcular a altura h que a bola atinge quando está no ângulo theta. Usando trigonometria:
h = L - Lcostheta = L(1 - costheta).

Passo 4

Aplicando a conservação de energia entre o ponto mais alto e o ponto mais baixo:
Energia total no ponto mais alto = Energia total no ponto mais baixo
12mv0^2 + mgL(1 - costheta) = 12mvmax^2

Passo 5

Isolando vmax na equação:
12mvmax^2 = 12mv0^2 + mgL(1 - costheta)
Multiplicando ambos os lados por 2 e dividindo por m:
vmax^2 = v0^2 + 2gL(1 - costheta)
Portanto:
vmax = raizv0^2 + 2gL(1 - costheta)

Passo 6

Agora, queremos encontrar o ângulo phi onde a velocidade v é metade da velocidade máxima vmax. Ou seja:
v = vmax2
Elevando ambos os lados ao quadrado:
v^2 = (vmax2)^2 = vmax^24

Passo 7

Usando a expressão da energia no ponto com velocidade v:
12mv^2 + mgL(1 - cosphi) = 12mvmax^2
Substituindo v^2 = vmax^24:
12m(vmax^24) + mgL(1 - cosphi) = 12mvmax^2

Passo 8

Simplificando a equação:
mvmax^28 + mgL(1 - cosphi) = mvmax^22
Subtraindo mvmax^28 de ambos os lados:
mgL(1 - cosphi) = mvmax^22 - mvmax^28 = 3mvmax^28

Passo 9

Dividindo ambos os lados por mgL:
1 - cosphi = 3vmax^28gL
Isolando cosphi:
cosphi = 1 - 3vmax^28gL

Passo 10

Substituindo vmax^2 da Passo 5:
cosphi = 1 - 3(v0^2 + 2gL(1 - costheta))8gL
Simplificando:
cosphi = 1 - 3v0^28gL - 6(1 - costheta)8
cosphi = 1 - 3v0^28gL - 34(1 - costheta)

Passo 11

Finalmente, isolando phi:
phi = arccos(1 - 3v0^28gL - 34(1 - costheta))

Resposta

A velocidade máxima da bola é:
vmax = raizv0^2 + 2gL(1 - costheta)
O ângulo entre o fio e a vertical para que a velocidade da bola seja metade de seu valor máximo é:
phi = arccos(1 - 3v0^28gL - 34(1 - costheta))

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