Pêndulo simples: Para fazer um pêndulo, prende-se uma pequena bola de massa
a uma das extremidades de um fio de comprimento
e massa desprezível e fixa a outra extremidade a um suporte. A bola é puxada para um lado até que o fio faça um ângulo
com a vertical, lança-se então a bola com uma velocidade inicial
. Encontre a velocidade máxima da bola em termos de
e
. Qual deve ser o ângulo entre o fio e a vertical para que a velocidade da bola seja metade de seu valor máximo?
Passo 1
Vamos entender o que o enunciado está perguntando. Temos um pêndulo simples formado por uma bola de massa
presa a um fio de comprimento
. A bola é puxada para um lado formando um ângulo
com a vertical e, em seguida, lançada com uma velocidade inicial
. Precisamos encontrar:
- A velocidade máxima da bola em termos de
, , e (aceleração da gravidade). - O ângulo que o fio deve fazer com a vertical para que a velocidade da bola seja metade de seu valor máximo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de conservação de energia e cinemática do movimento circular.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a energia no ponto mais alto (quando a bola está no ângulo
) e no ponto mais baixo do seu trajeto.
No ponto mais alto:
- Energia potencial gravitacional:
, onde é a altura. - Energia cinética:
.
No ponto mais baixo:
- Energia potencial gravitacional:
(definindo como referência). - Energia cinética:
.
Passo 3
Vamos calcular a altura
que a bola atinge quando está no ângulo
. Usando trigonometria:
Passo 4
Aplicando a conservação de energia entre o ponto mais alto e o ponto mais baixo:
Energia total no ponto mais alto = Energia total no ponto mais baixo
Passo 5
Isolando
na equação:
Multiplicando ambos os lados por 2 e dividindo por
:
Portanto:
Passo 6
Agora, queremos encontrar o ângulo
onde a velocidade
é metade da velocidade máxima
. Ou seja:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Passo 7
Usando a expressão da energia no ponto com velocidade
:
Substituindo
:
Passo 8
Simplificando a equação:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 9
Dividindo ambos os lados por
:
Isolando
:
Passo 10
Substituindo
da Passo 5:
Simplificando:
Passo 11
Finalmente, isolando
:
Resposta
A velocidade máxima da bola é:
O ângulo entre o fio e a vertical para que a velocidade da bola seja metade de seu valor máximo é: