Pêndulo simples: Para fazer um pêndulo, prende-se uma pequena bola de massa a uma das extremidades de um fio de comprimento e massa desprezível e fixa a outra extremidade a um suporte. A bola é puxada para um lado até que o fio faça um ângulo com a vertical, lança-se então a bola com uma velocidade inicial . Encontre a velocidade máxima da bola em termos de e . Qual deve ser o ângulo entre o fio e a vertical para que a velocidade da bola seja metade de seu valor máximo?

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado está perguntando. Temos um pêndulo simples formado por uma bola de massa presa a um fio de comprimento . A bola é puxada para um lado formando um ângulo com a vertical e, em seguida, lançada com uma velocidade inicial . Precisamos encontrar:
  1. A velocidade máxima da bola em termos de , , e (aceleração da gravidade).
  2. O ângulo que o fio deve fazer com a vertical para que a velocidade da bola seja metade de seu valor máximo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de conservação de energia e cinemática do movimento circular.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a energia no ponto mais alto (quando a bola está no ângulo ) e no ponto mais baixo do seu trajeto.
No ponto mais alto:
  • Energia potencial gravitacional: , onde é a altura.
  • Energia cinética: .
No ponto mais baixo:
  • Energia potencial gravitacional: (definindo como referência).
  • Energia cinética: .

Passo 3

Vamos calcular a altura que a bola atinge quando está no ângulo . Usando trigonometria:
.

Passo 4

Aplicando a conservação de energia entre o ponto mais alto e o ponto mais baixo:
Energia total no ponto mais alto = Energia total no ponto mais baixo

Passo 5

Isolando na equação:
Multiplicando ambos os lados por 2 e dividindo por :
Portanto:

Passo 6

Agora, queremos encontrar o ângulo onde a velocidade é metade da velocidade máxima . Ou seja:
Elevando ambos os lados ao quadrado:

Passo 7

Usando a expressão da energia no ponto com velocidade :
Substituindo :

Passo 8

Simplificando a equação:
Subtraindo de ambos os lados:

Passo 9

Dividindo ambos os lados por :
Isolando :

Passo 10

Substituindo da Passo 5:
Simplificando:

Passo 11

Finalmente, isolando :

Resposta

A velocidade máxima da bola é:
O ângulo entre o fio e a vertical para que a velocidade da bola seja metade de seu valor máximo é:

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