Um pêndulo simples de massa
e comprimento
oscila sobre uma plataforma de massa
, a qual está sobre uma superfície livre de atrito, num local onde o módulo da aceleração da gravidade é g. Determine a frequência angular do pêndulo para pequenas oscilações.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem aqui um pêndulo simples com massa $ m_1 $ e comprimento $ L $ que está pendurado em uma plataforma com massa $ m_2 $. Essa plataforma está em uma superfície sem atrito, e estamos considerando a aceleração da gravidade $ g $. Nosso objetivo é descobrir qual é a frequência angular desse pêndulo quando ele oscila um pouquinho, ou seja, para pequenas oscilações. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de mecânica de pêndulos e como massas diferentes influenciam o movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a frequência angular ($ \omega $) de um pêndulo simples sem nenhuma plataforma é dada por:
Isso vem da teoria dos pêndulos, onde $ g $ é a aceleração da gravidade e $ L $ é o comprimento do pêndulo. No entanto, aqui temos uma plataforma com massa $ m_2 $, o que muda as coisas.
Passo 3
Quando adicionamos a plataforma com massa $ m_2 $, ela também vai oscilar junto com o pêndulo. Isso significa que a massa total que está oscilando não é apenas $ m_1 $, mas também $ m_2 $. Para levar isso em conta, precisamos ajustar a fórmula da frequência angular para considerar a interação entre as duas massas.
Passo 4
A maneira de fazer isso é considerar a massa efetiva do sistema. A massa efetiva ($ m_{ef} $) que contribui para o movimento oscilatório é dada por:
Essa fórmula leva em conta como as massas $ m_1 $ e $ m_2 $ interagem quando estão ligadas e se movendo juntas.
Passo 5
Agora que temos a massa efetiva, podemos substituir na fórmula da frequência angular. A nova expressão para $ \omega $ fica:
Substituindo $ m_{ef} $ pela fórmula que encontramos:
Passo 6
Simplificando a expressão dentro da raiz, temos:
E finalmente, podemos reescrever isso de uma forma um pouco mais organizada:
Resposta
A frequência angular do pêndulo para pequenas oscilações é: