Um pêndulo simples de massa
e comprimento
oscila sobre uma plataforma de massa
, a qual está sobre uma superfície livre de atrito, num local onde o módulo da aceleração da gravidade é g. Determine a frequência angular do pêndulo para pequenas oscilações.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um pêndulo simples com massa $ m_1 $ e comprimento $ L $ que está oscilando sobre uma plataforma de massa $ m_2 $. Essa plataforma está em uma superfície sem atrito, e a aceleração da gravidade é $ g $. Nosso objetivo é encontrar a frequência angular das oscilações pequenas desse pêndulo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de física sobre pêndulos e sistemas em movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a frequência angular $ \omega $ de um pêndulo simples é dada pela fórmula:
Isso vale para um pêndulo simples fixo. Mas aqui, o pêndulo está sobre uma plataforma que pode se mover, o que complica um pouco as coisas.
Passo 3
Como a plataforma pode se mover sem atrito, o movimento do pêndulo vai influenciar o movimento da plataforma. Para resolver isso, vamos considerar que ambos, o pêndulo e a plataforma, estão conectados e se movem juntos. Isso significa que a massa efetiva que está oscilando é a combinação da massa do pêndulo $ m_1 $ e da massa da plataforma $ m_2 $.
Passo 4
A massa efetiva para o sistema é a massa total que está em movimento. Nesse caso, a massa total é:
Multiplicamos $ m_2 $ por 2 porque a plataforma contribui para o movimento em duas direções.
Passo 5
Agora, substituímos a massa efetiva na fórmula da frequência angular. Ficamos com:
Essa é a expressão que relaciona a frequência angular com as massas do pêndulo e da plataforma, o comprimento do pêndulo e a aceleração da gravidade.
Resposta
A frequência angular do pêndulo para pequenas oscilações é: