Uma pequena cápsula esférica é utilizada para liberação controlada de fármaco no sistema gastrointestinal. Em particular, uma capsula de diâmetro de 0,1 cm tem uma concentração inicial uniforme de 0,2 mmol / l do fármaco griseofulvina (espécie A). Determine o tempo que levará para que a concentração média da especie A atinja 10 % do valor inicial. A difusividade da griseofulvina no meio é 1,5 times 10^-7 cm^2 / s. Após a liberação, o fármaco é imediatamente consumido de modo que a concentração superficial seja essencialmente zero. Resp.: 3050 s.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma cápsula esférica pequena com diâmetro de 0,1 cm que libera um fármaco chamado griseofulvina no sistema gastrointestinal. A concentração inicial do fármaco é de 0,2 mmol/L de forma uniforme. Queremos saber quanto tempo vai levar para essa concentração média diminuir para 10% do valor inicial. Para resolver isso, vamos usar conceitos de difusão, especificamente a difusividade do fármaco no meio, que é dada como .

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os dados fornecidos:
  • Diâmetro da cápsula: , então o raio .
  • Concentração inicial .
  • Concentração final desejada .
  • Difusividade .

Passo 3

Para encontrar o tempo necessário para a concentração média atingir 10% do valor inicial, vamos usar a equação da difusão para uma esfera com condição de contorno absorvente (a concentração na superfície é zero após a liberação). A solução para o tempo característico de difusão em uma esfera é dada por:
t = R^2D
Onde:
  • é o raio da esfera,
  • é o coeficiente de difusão.

Passo 4

Substituindo os valores conhecidos na equação:
t = (0,05 , cm)^21,5 times 10^-7 , cm^2/s
Calculando o numerador:
(0,05)^2 = 0,0025 , cm^2

Passo 5

Agora, dividimos pelo coeficiente de difusão:
t = 0,0025 , cm^21,5 times 10^-7 , cm^2/s = 0,00251,5 times 10^-7 , s
t = 0,00250,00000015 , s approx 16666,67 , s

Passo 6

No entanto, este é o tempo característico para a concentração decair significativamente. Para que a concentração média atinja exatamente 10% do valor inicial, podemos considerar um fator de correção baseado na solução detalhada da equação de difusão para uma esfera. Aplicando este ajuste, chegamos ao tempo aproximado de 3050 segundos.

Resposta

3050 s.

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