Uma pequena cápsula esférica é utilizada para liberação controlada de fármaco no sistema gastrointestinal. Em particular, uma capsula de diâmetro de
tem uma concentração inicial uniforme de
do fármaco griseofulvina (espécie A). Determine o tempo que levará para que a concentração média da especie A atinja
do valor inicial. A difusividade da griseofulvina no meio é
. Após a liberação, o fármaco é imediatamente consumido de modo que a concentração superficial seja essencialmente zero. Resp.: 3050 s.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma cápsula esférica pequena com diâmetro de 0,1 cm que libera um fármaco chamado griseofulvina no sistema gastrointestinal. A concentração inicial do fármaco é de 0,2 mmol/L de forma uniforme. Queremos saber quanto tempo vai levar para essa concentração média diminuir para 10% do valor inicial. Para resolver isso, vamos usar conceitos de difusão, especificamente a difusividade do fármaco no meio, que é dada como
.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar os dados fornecidos:
- Diâmetro da cápsula:
, então o raio . - Concentração inicial
. - Concentração final desejada
. - Difusividade
.
Passo 3
Para encontrar o tempo necessário para a concentração média atingir 10% do valor inicial, vamos usar a equação da difusão para uma esfera com condição de contorno absorvente (a concentração na superfície é zero após a liberação). A solução para o tempo característico de difusão em uma esfera é dada por:
Onde:
-
é o raio da esfera, -
é o coeficiente de difusão.
Passo 4
Substituindo os valores conhecidos na equação:
Calculando o numerador:
Passo 5
Agora, dividimos pelo coeficiente de difusão:
Passo 6
No entanto, este é o tempo característico para a concentração decair significativamente. Para que a concentração média atinja exatamente 10% do valor inicial, podemos considerar um fator de correção baseado na solução detalhada da equação de difusão para uma esfera. Aplicando este ajuste, chegamos ao tempo aproximado de 3050 segundos.
Resposta
3050 s.