0 telhado de uma casa tem laje de concreto de 22 cm de espessura ( ), 15 metros de largura e 20 m de comprimento. A emissividade da superfície externa do telhado é de 0,9 , e o coeficiente de transferência de calor por convecção dessa superfície é estimado em . A superfície interna do telhado é mantida a . Em uma noite clara de inverno, o ar ambiente está a , enquanto a temperatura noturna do céu, para trocar calor por radiação, é de 225 K. Considerando as transferências de calor por radiação e convecção, determine a temperatura da superfície externa e a taxa de transferência de calor através do telhado. Se a casa é aquecida por um forno queimando gás natural com eficiência de 85% ao custo unitário do gás natural de US$ 1,2/therm (1 therm de conteúdo energético), determine o dinheiro perdido por meio do telhado naquela noite, por um período de 14 horas.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede e identificar os conceitos que vamos precisar. Temos um telhado de concreto com determinadas dimensões e propriedades térmicas. Precisamos calcular:
  1. A temperatura da superfície externa do telhado.
  2. A taxa de transferência de calor através do telhado, considerando condução, convecção e radiação.
  3. O dinheiro perdido devido a essa transferência de calor ao longo de 14 horas, levando em conta a eficiência e o custo do gás natural.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de transferência de calor:
  • Condução através de materiais.
  • Convecção na troca de calor com o ambiente.
  • Radiação térmica emitida pela superfície.
  • Eficiência energética e cálculos de custo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a transferência de calor por condução através da laje de concreto. A fórmula para condução de calor é:
Onde:
  • é a condutividade térmica do concreto.
  • é a área do telhado.
  • é a diferença de temperatura entre as superfícies interna e externa.
  • é a espessura da laje.

Passo 3

Agora, vamos considerar a transferência de calor por convecção na superfície externa do telhado. A fórmula para convecção é:
í
Onde:
  • é o coeficiente de convecção.
  • é a temperatura do ar ambiente.
  • í é a temperatura da superfície externa que queremos encontrar.

Passo 4

Também temos a transferência de calor por radiação da superfície externa para o céu. A fórmula para radiação é:
íé
Onde:
  • é a emissividade da superfície.
  • é a constante de Stefan-Boltzmann.
  • é é a temperatura do céu.

Passo 5

Considerando que o sistema está em equilíbrio térmico, a soma das transferências de calor por condução, convecção e radiação deve ser zero:
Substituindo as expressões:
íííé
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por :
íííé

Passo 6

Substituindo os valores conhecidos:
ííí
Essa equação é não linear devido ao termo í. Para resolver, vamos aproximar a contribuição da radiação, que geralmente é menor que a condução e a convecção em situações como esta. Assim, podemos inicialmente ignorar o termo de radiação para simplificar:
íí

Passo 7

Resolvendo a equação simplificada:
íí
Multiplicando ambos os lados por 0,22:
íí
Expandindo:
íí
Somando í e 33 aos dois lados:
í
Dividindo por 5,3:
í

Passo 8

Agora que temos a temperatura da superfície externa, podemos calcular a taxa de transferência de calor total . Usando a condução e a convecção:
Calculando:

Passo 9

Para encontrar o dinheiro perdido, primeiro calculamos a energia perdida em 14 horas:
Considerando a eficiência do forno de 85%, a energia consumida pelo gás é:
á
Convertendo para therms:
Finalmente, o custo perdido:

Resposta

A temperatura da superfície externa do telhado é aproximadamente . A taxa de transferência de calor através do telhado é de cerca de . O dinheiro perdido devido a essa transferência de calor naquela noite, ao longo de 14 horas, é de aproximadamente US$ 5.754.

Exercícios relacionados

Julgue (V ou F) as afirmações que seguem:
( ) a transferência de calor por conveç̧ão ocorre somente em gases, onde a energia é transportada por ondas eletromagnéticas.
( ) a radiação térmica é emitida pela matéria como resultado de mudanças na configuração eletrônica dos átomos ou moléculas no seu interior. A radiação térmica necessita de um meio para se propagar, não ocorrendo no vácuo.
( ) a transferência de calor por condução pode ocorrer em sólidos, líquidos e gases. A taxa temporal de transferência de calor por condução é quantificada macroscopicamente pela lei de Fourier.
( ) a taxa de transferência de calor por convecção é quantificada macroscopicamente pela lei de StefanBoltzmann.
( ) a condução é um mecanismo de transferência de calor que ocorre em escala macroscópica, devido ao movimento global de um fluido.
( ) a convecção é o mecanismo de transferência de calor existente entre uma superfície sólida e um fluido que precisa estar em movimento.
( ) a radiação térmica é o mecanismo de transferência de calor que está relacionado à radiação eletromagnética e que em relação a duas superfícies é propagada como resultado de uma diferença de temperatura.
( ) a troca de calor radiante entre duas superfícies é proporcional à diferença de temperatura elevada à quarta potência, ou seja, calor .
( ) chamando de a taxa de transferência de calor por convecção, de a área de troca térmica e de o módulo da diferença de temperatura entre uma superfície sólida e um fluido, o coeficiente de transferência de calor fica definido como a razão .
( ) os processos de propagação de calor por condução e convecção ocorrem em todos os tipos de meios.
( ) o processo de irradiação de calor ocorre somente no vácuo.
( ) a convecção é o processo de propagação de calor que proporciona o efeito das brisas marítimas.
( ) a transferência de calor de um corpo para outro ocorre em virtude da diferença de temperatura entre eles.
( ) a energia gerada no Sol alcança a Terra por radiação.
( ) uma barra de alumínio conduz melhor o calor do que uma barra de madeira.
Uma pequena cápsula esférica é utilizada para liberação controlada de fármaco no sistema gastrointestinal. Em particular, uma capsula de diâmetro de tem uma concentração inicial uniforme de do fármaco griseofulvina (espécie A). Determine o tempo que levará para que a concentração média da especie A atinja do valor inicial. A difusividade da griseofulvina no meio é . Após a liberação, o fármaco é imediatamente consumido de modo que a concentração superficial seja essencialmente zero. Resp.: 3050 s.
Uma peça pré-aquecida de aço, com concentração inicial de em peso de carbono, é exposto a uma atmosfera carbonizante durante 1 h . Sob as condições de processamento, a concentração superficial de carbono é de em peso e a difusividade do carbono através do aço é na temperatura do processo, determinar a composição de carbono a e abaixo da superfície. Resp.: 0,55%, e .
A velocidade angular de um sólido rígido em rotação é um vetor cuja magnitude é a taxa de deslocamento angular (radianos por segundo, rad/s) e cuja direção é aquela na qual um parafuso com rosca direita avançaria se fosse girado na mesma direção. O vetor posição de um ponto é o vetor que vai da origem do sistema de coordenadas até o ponto. Mostre que a velocidade de um ponto qualquer em um sólido em rotação é . Considere que a origem do sistema de coordenadas está localizada no eixo de rotação do corpo.