0 telhado de uma casa tem laje de concreto de 22 cm de espessura ( k=2 W / m K ), 15 metros de largura e 20 m de comprimento. A emissividade da superfície externa do telhado é de 0,9 , e o coeficiente de transferência de calor por convecção dessa superfície é estimado em 15 W / m^2 K. A superfície interna do telhado é mantida a 15^circ C. Em uma noite clara de inverno, o ar ambiente está a 10^circ C, enquanto a temperatura noturna do céu, para trocar calor por radiação, é de 225 K. Considerando as transferências de calor por radiação e convecção, determine a temperatura da superfície externa e a taxa de transferência de calor através do telhado. Se a casa é aquecida por um forno queimando gás natural com eficiência de 85% ao custo unitário do gás natural de US$ 1,2/therm (1 therm 1,2/therm (1 therm de conteúdo energético), determine o dinheiro perdido por meio do telhado naquela noite, por um período de 14 horas.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede e identificar os conceitos que vamos precisar. Temos um telhado de concreto com determinadas dimensões e propriedades térmicas. Precisamos calcular:
  1. A temperatura da superfície externa do telhado.
  2. A taxa de transferência de calor através do telhado, considerando condução, convecção e radiação.
  3. O dinheiro perdido devido a essa transferência de calor ao longo de 14 horas, levando em conta a eficiência e o custo do gás natural.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de transferência de calor:
  • Condução através de materiais.
  • Convecção na troca de calor com o ambiente.
  • Radiação térmica emitida pela superfície.
  • Eficiência energética e cálculos de custo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a transferência de calor por condução através da laje de concreto. A fórmula para condução de calor é:
Qcond = k cdot A cdot De
Onde:
  • é a condutividade térmica do concreto.
  • é a área do telhado.
  • é a diferença de temperatura entre as superfícies interna e externa.
  • é a espessura da laje.

Passo 3

Agora, vamos considerar a transferência de calor por convecção na superfície externa do telhado. A fórmula para convecção é:
Qconv = h cdot A cdot (Tsuperfície - Tar) í
Onde:
  • é o coeficiente de convecção.
  • é a temperatura do ar ambiente.
  • í é a temperatura da superfície externa que queremos encontrar.

Passo 4

Também temos a transferência de calor por radiação da superfície externa para o céu. A fórmula para radiação é:
Qrad = varepsilon cdot sigma cdot A cdot (Tsuperfície^4 - Tcéu^4) íé
Onde:
  • é a emissividade da superfície.
  • é a constante de Stefan-Boltzmann.
  • é é a temperatura do céu.

Passo 5

Considerando que o sistema está em equilíbrio térmico, a soma das transferências de calor por condução, convecção e radiação deve ser zero:
Qcond = Qconv + Qrad
Substituindo as expressões:
k cdot A cdot (Tinterna - Tsuperfície)d = h cdot A cdot (Tsuperfície - Tar) + varepsilon cdot sigma cdot A cdot (Tsuperfície^4 - Tcéu^4) íííé
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por k cdot (Tinterna - Tsuperfície)d = h cdot (Tsuperfície - Tar) + varepsilon cdot sigma cdot (Tsuperfície^4 - Tcéu^4) :
íííé

Passo 6

Substituindo os valores conhecidos:
2 cdot (15 - Tsuperfície)0,22 = 15 cdot (Tsuperfície - 10) + 0,9 cdot 5,67 times 10^-8 cdot (Tsuperfície^4 - 225^4) ííí
Essa equação é não linear devido ao termo 2 cdot (15 - Tsuperfície)0,22 = 15 cdot (Tsuperfície - 10) í. Para resolver, vamos aproximar a contribuição da radiação, que geralmente é menor que a condução e a convecção em situações como esta. Assim, podemos inicialmente ignorar o termo de radiação para simplificar:
íí

Passo 7

Resolvendo a equação simplificada:
2 cdot (15 - Tsuperfície)0,22 = 15 cdot (Tsuperfície - 10) íí
Multiplicando ambos os lados por 0,22:
2 cdot (15 - Tsuperfície) = 3,3 cdot (Tsuperfície - 10) íí
Expandindo:
30 - 2Tsuperfície = 3,3Tsuperfície - 33 íí
Somando 63 = 5,3Tsuperfície í e 33 aos dois lados:
Tsuperfície approx 11,89^circ C í
Dividindo por 5,3:
í

Passo 8

Agora que temos a temperatura da superfície externa, podemos calcular a taxa de transferência de calor total Q = Qcond = 2 cdot 300 cdot (15 - 11,89)0,22 . Usando a condução e a convecção:
Q = 2 cdot 300 cdot 3,110,22 approx 18660,22 approx 8481,82 , W
Calculando:

Passo 9

Para encontrar o dinheiro perdido, primeiro calculamos a energia perdida em 14 horas:
E = Q cdot t = 8481,82 , W times 14 times 3600 , s approx 4,295 times 10^8 , J
Considerando a eficiência do forno de 85%, a energia consumida pelo gás é:
Egás = E0,85 approx 4,295 times 10^80,85 approx 5,06 times 10^8 , J á
Convertendo para therms:
therms = 5,06 times 10^8 , J105500 , kJ/therm approx 5,06 times 10^81,055 times 10^5 approx 4795 , therms
Finalmente, o custo perdido:
Custo = 4795 , therms times 1,2 , $/therm approx 5754 , $

Resposta

A temperatura da superfície externa do telhado é aproximadamente . A taxa de transferência de calor através do telhado é de cerca de . O dinheiro perdido devido a essa transferência de calor naquela noite, ao longo de 14 horas, é de aproximadamente US$ 5.754.

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