0 telhado de uma casa tem laje de concreto de 22 cm de espessura ( ), 15 metros de largura e 20 m de comprimento. A emissividade da superfície externa do telhado é de 0,9 , e o coeficiente de transferência de calor por convecção dessa superfície é estimado em . A superfície interna do telhado é mantida a . Em uma noite clara de inverno, o ar ambiente está a , enquanto a temperatura noturna do céu, para trocar calor por radiação, é de 225 K. Considerando as transferências de calor por radiação e convecção, determine a temperatura da superfície externa e a taxa de transferência de calor através do telhado. Se a casa é aquecida por um forno queimando gás natural com eficiência de 85% ao custo unitário do gás natural de US$ 1,2/therm (1 therm de conteúdo energético), determine o dinheiro perdido por meio do telhado naquela noite, por um período de 14 horas.
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício pede e identificar os conceitos que vamos precisar. Temos um telhado de concreto com determinadas dimensões e propriedades térmicas. Precisamos calcular:
A temperatura da superfície externa do telhado.
A taxa de transferência de calor através do telhado, considerando condução, convecção e radiação.
O dinheiro perdido devido a essa transferência de calor ao longo de 14 horas, levando em conta a eficiência e o custo do gás natural.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de transferência de calor:
Condução através de materiais.
Convecção na troca de calor com o ambiente.
Radiação térmica emitida pela superfície.
Eficiência energética e cálculos de custo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a transferência de calor por condução através da laje de concreto. A fórmula para condução de calor é:
Onde:
é a condutividade térmica do concreto.
é a área do telhado.
é a diferença de temperatura entre as superfícies interna e externa.
é a espessura da laje.
Passo 3
Agora, vamos considerar a transferência de calor por convecção na superfície externa do telhado. A fórmula para convecção é:
Onde:
é o coeficiente de convecção.
é a temperatura do ar ambiente.
é a temperatura da superfície externa que queremos encontrar.
Passo 4
Também temos a transferência de calor por radiação da superfície externa para o céu. A fórmula para radiação é:
Onde:
é a emissividade da superfície.
é a constante de Stefan-Boltzmann.
é a temperatura do céu.
Passo 5
Considerando que o sistema está em equilíbrio térmico, a soma das transferências de calor por condução, convecção e radiação deve ser zero:
Substituindo as expressões:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por :
Passo 6
Substituindo os valores conhecidos:
Essa equação é não linear devido ao termo . Para resolver, vamos aproximar a contribuição da radiação, que geralmente é menor que a condução e a convecção em situações como esta. Assim, podemos inicialmente ignorar o termo de radiação para simplificar:
Passo 7
Resolvendo a equação simplificada:
Multiplicando ambos os lados por 0,22:
Expandindo:
Somando e 33 aos dois lados:
Dividindo por 5,3:
Passo 8
Agora que temos a temperatura da superfície externa, podemos calcular a taxa de transferência de calor total . Usando a condução e a convecção:
Calculando:
Passo 9
Para encontrar o dinheiro perdido, primeiro calculamos a energia perdida em 14 horas:
Considerando a eficiência do forno de 85%, a energia consumida pelo gás é:
Convertendo para therms:
Finalmente, o custo perdido:
Resposta
A temperatura da superfície externa do telhado é aproximadamente . A taxa de transferência de calor através do telhado é de cerca de . O dinheiro perdido devido a essa transferência de calor naquela noite, ao longo de 14 horas, é de aproximadamente US$ 5.754.